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Palavras chave: derivada do seno, derivada do coseno, notação de Euler, integral das funções trigonométricas, números complexos, relações trigonométricas,

eu mesmo

Derivada e integral das funções trigonométricas

É o objetivo da lista 05, a derivada e a integral das funções trigonométricas.

Números complexos

Eu vou usar os números complexos com dois objetivos:
  1. fechar mais um passo na história dos números;
  2. os números complexos tem uma ligação mais aprofundada com a geometria do que os números reais, uma vez que eles descrevem o plano e para isto é preciso incluir (os números complexos tem isto nativamente) os conceitos de módulo de um vetor e de ângulo de um vetor.
O segundo item vai me permitir a construção da trigonometria de uma forma mais rápida e diferente daquela que o estudante adquiriu no Ensino Médio e assim lhes dar a sensação de uma trigonometria de Ensino Superior.

As duas primeiras questões da lista 05 são a introdução aos números complexos e deverão servir para uma discussão em torno dos mesmos. Espero muitas perguntas a respeito e devo responder com alguns gráficos complementando a parte algébrica. Ao terminar as duas primeiras questões você deverá esar suficientemente familiarizado com os números complexos.
É preciso, aqui, chamar sua atenção para a afirmação de sempre: não se limite ao material que o professor apresenta, procure complementar as informações fazendo buscas na Internet com a palavra chave número complexo e você certamente encontrará uma riqueza muito grande de informações. Evite se perder, o objetivo é dominar operatóriamente os números complexos na etapa que as duas primeiras questões representam. Pedir que você faça uns 100 exercícios a respeito é uma insinuação modesta para conduzí-l@ a dominar este assunto. A alternativa é ficar apenas na superfície. Decida!
O programa calculadora é uma calculadora para números complexos, feito em C++, é o executável que pode ser baixado da página, do link "programas", roda em Linux. O programa precisa de gnuplot para rodar porque vai fazer gráficos das operações com números complexos com auxílio de gnuplot.
Eu posso ceder o código fonte, sob a condição de que ele não seja implementado para outros sistemas operacionais - fazê-lo seria romper com os meus direitos autorais: eu não vou trabalhar de graça para nenhuma companhia que venda programas! Todos os programas que faço são distribuidos com a licença GPL até porque foram feitos com auxílio de programas distribuidos com esta licença que garante a liberdade de acesso ao conhecimento para todos.

Conjugado de um número complexo

A operação "conjugado" é uma nova operação que aparece com os números complexos. Geometricamente ela se define como uma simétria em torno do eixo OX.
Calculamos o conjugado do número complexo z
      z = a + bi
trocando o sinal da parte imaginaria de z.
Aqui havia um erro! Estava escrito:
"calculamos o conjugado de um número complexo trocando o sinal da parte real",
agora está correto, é trocando o sinal da parte imaginária.
O programa calculadora calcula e mostra o conjugado de um número complexo.
O produto de um número complexo z pelo seu conjugado z* é um número real positivo, porque é a soma dos quadrados das partes real e imaginária do número complexo z.
Há duas notações para conjugado, uma aparece na lista 05, a outra eu coloquei acima, z*. Aqui eu não consigo colocar barras em cima dos números complexos e assim vou usar esta notação alternativa (e oficial).
Há várias propriedades interessantes da conjugação (operação de calcular o conjugado):
  1. (z*)* = z;
  2. (z + w)* = z* + w*;
  3. (rz*) = r(z*), se r for um número real;
  4. (r z + t w)* = rz* + tw*, se r,t forem números reais;
  5. (zw)* = z* w*; Esta propriedade é difícil de ser provada partindo do primeiro membro para o segundo, mas saindo do segundo membro para o primeiro membro é fácil....
Esta operação, conjugação, não é uma invenção gratuita.
Para começar ela é muito comum em contas que fazemos desde o Ensino Médio, sempre que você tiver uma expressão no denominador, por exemplo "x-a", é induzido em pensar na multiplicação por "x+a" do numerador e do denominador, uma vez que isto não altera a fração e deixa no denominador uma expressão que muitas vezes não "oferece problemas", x2 + a2.
Uma das operações que vamos precisar com os números complexos é o cálculo do inverso multiplicativo:
(a+bi)-1 inverso multiplicativo

A notação de Euler

Se atribui a Euler uma importante fórmula que neste momento estou chamando de notação porque ainda não posso provar que é uma fórmula. De Moivre também esteve envolvido com esta fórmula e certamente mais gente o esteve, mas vou seguir chamando como é convenção "notação de Euler". Quando estudarmos a função exponencial, dentro de duas semanas, vamos ver que se trata de uma fórmula.
Notação de Euler: eit = cos(t) + i sin(t)
A representação geométrica da notação de Euler aparece na figura

Do ensino médio sabemos duas fórmulas sobre somas de ângulos: Se usarmos a notação de Euler vamos encontrar novamente estas fórmulas:
  1. eia = cos(a) + i sin(a)
  2. eib = cos(b) + i sin(b)
  3. eia eib = (cos(a) + i sin(a)) (cos(b) + i sin(b))
  4. eia eib = cos(a)cos(b) - sin(a) sin(b) + i [cos(a)sin(b) + cos(b)sin(a)]
  5. eia eib = cos( a + b) + i sin( a + b) = ei(a+b)
Observe que nas equações acima há uma mistura de "notação" e "matemática"...
Por exemplo nas equações (3), (4) e (5), no primeiro membro você lê um "produto de notações" que é uma operação ilegal.
No meio da equação (5) você tem o resultado do produto de dois números complexos que aparecem nas equações (1) e (2).
Aceitando a notação de Euler como uma simples notação, concluímos destas "contas" que a notação de Euler funciona como se fosse uma exponencial (depois vamos ver que de fato é): produto de potências de mesma base - soma dos expoentes, é o conteúdo da equação (5).
Do Ensino Médio - preparação para o vestibular ou equivalente - você viu a fórmula da soma de arcos que estou usando entre as equações (4) e (5), chamando a parte real que aparece na equação (4) de cos(a+b) e a parte imaginaria, que aparece na equação (4), de sin(a+b).
Conclusão: A notação de Euler lhe oferece um meio mais efetivo e científico para lembrar-se das fórmulas da soma de arcos do que o verso de Castro Alves.... e eu entendo que isto já é um grande avanço.
Esta discussão cobre até a questão 6 da lista 05, obviamente, se espera que você faça as contas para decidir o que é verdadeiro ou falso.

A questão 07 da lista 05

Vamos descobrir a derivada de f(x) = sin(x).
Consiste no estudo do comportamento do operador quociente aplicado à função seno. Passa por uma desigualdade que vai usar o teorema do sanduiche, acompanhe as contas, analise um gráfico no círculo trigonométrico.
Como consequência podemos descobrir a derivada do coseno.