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recente.Sinta-se bem vind@ a me apontar algum defeito que você encontre no
texto. Se você encontrar algum erro, me indicando qual é, vai lhe valer um ponto
na lista desta semana, por erro encontrado.
Palavras chave:
derivada do seno,
derivada do coseno,
notação de Euler,
integral das funções trigonométricas,
números complexos,
relações trigonométricas,
Derivada e integral das funções trigonométricas
É o objetivo da lista 05, a derivada e a integral das
funções trigonométricas.
Números complexos
Eu vou usar os números complexos com
dois objetivos:
- fechar mais um passo na história dos números;
- os números complexos tem uma ligação mais aprofundada com a geometria
do que os números reais, uma vez que eles descrevem o plano e para isto
é preciso incluir (os números complexos tem isto nativamente) os
conceitos de módulo de um vetor e de ângulo de um vetor.
O segundo item vai me permitir a construção da trigonometria de uma forma
mais rápida e diferente daquela que o estudante adquiriu no Ensino Médio
e assim lhes dar a sensação de uma trigonometria de Ensino Superior.
As duas primeiras questões da lista 05 são a introdução aos números
complexos e deverão servir para uma discussão em torno dos mesmos. Espero
muitas perguntas a respeito e devo responder com alguns gráficos
complementando a parte algébrica. Ao terminar as duas primeiras questões
você deverá esar suficientemente familiarizado com os números complexos.
É preciso, aqui, chamar sua atenção para a afirmação de sempre: não
se limite ao material que o professor apresenta, procure complementar
as informações fazendo buscas na Internet com a palavra chave
número complexo e você certamente encontrará uma riqueza muito
grande de informações. Evite se perder, o objetivo é dominar operatóriamente
os números complexos na etapa que as duas primeiras questões representam.
Pedir que você faça uns 100 exercícios a respeito é uma insinuação
modesta para conduzí-l@ a dominar este assunto. A alternativa é ficar
apenas na superfície. Decida!
O programa calculadora
é uma calculadora para números complexos, feito em C++, é o executável que
pode ser baixado da página, do link "programas", roda em Linux. O programa precisa de gnuplot para rodar
porque vai fazer gráficos das operações com números complexos com auxílio de gnuplot.
Eu posso ceder o código fonte, sob
a condição de que ele não seja implementado para outros sistemas operacionais - fazê-lo seria
romper com os meus direitos autorais: eu não vou trabalhar de graça para nenhuma companhia que
venda programas! Todos os programas que faço são distribuidos com a licença GPL até porque foram feitos
com auxílio de programas distribuidos com esta licença que garante a liberdade de acesso ao conhecimento
para todos.
Conjugado de um número complexo
A operação "conjugado" é uma nova operação que aparece com os números complexos. Geometricamente
ela se define como uma simétria em torno do eixo OX.
Calculamos o conjugado do número complexo z
z = a + bi
trocando o sinal da parte imaginaria de z.
Aqui havia um erro! Estava escrito:
"calculamos o conjugado de um número complexo trocando o sinal da parte real",
agora está correto, é trocando o sinal da parte imaginária.
O programa calculadora
calcula e mostra o conjugado de um número complexo.
O produto de um número complexo z pelo seu conjugado z* é um número real positivo, porque é a soma
dos quadrados das partes real e imaginária do número complexo z.
Há duas notações para conjugado, uma aparece na lista 05, a outra eu coloquei acima, z*. Aqui eu não consigo colocar barras
em cima dos números complexos e assim vou usar esta notação alternativa (e oficial).
Há várias propriedades interessantes da conjugação (operação de calcular o conjugado):
- (z*)* = z;
- (z + w)* = z* + w*;
- (rz*) = r(z*), se r for um número real;
- (r z + t w)* = rz* + tw*, se r,t forem números reais;
- (zw)* = z* w*; Esta propriedade é difícil de ser provada partindo do primeiro membro para o segundo,
mas saindo do segundo membro
para o primeiro membro é fácil....
Esta operação, conjugação, não é uma invenção gratuita.
Para começar ela é muito
comum em contas que fazemos desde o Ensino Médio,
sempre que você tiver uma
expressão no denominador, por exemplo "x-a", é induzido em pensar na multiplicação
por "x+a" do numerador e do denominador, uma vez que isto não altera a fração e
deixa no denominador uma expressão que muitas vezes não
"oferece problemas", x2 + a2.
Uma das operações que vamos precisar com os números complexos é o cálculo do
inverso multiplicativo:
(a+bi)-1
- A equação (2) foi obtida quando eu multipliquei numerador e denominador pelo mesmo número complexo,
a-bi que é o conjugado de z = a+bi cujo inverso eu quero obter.
- No último membro, na equação (3) as contas aparecem usando apenas a letra z e assim você pode ver,
do início ao fim da equação a forma (fórmula) do cálculo do inverso de z.
- Na equação (4) coloquei um exemplo, o cálculo do inverso de 3 + 2i.
- O programa
calculadora
faz estes cálculos mas vai escrever o resultado
em forma decimal (uma aproximação decimal).
- A presença do círculo trigonométrico é fundamental, a relação que existe entre x, x-1 para números reais fica
mais rica quando passamos para os números complexos, enquanto nos números reais a relação entre um número e seu inverso,
se for diferente de zero, é estar no intervalo [-1,1] ou fora dele, agora quem tomaq o lugar do intervalo [-1,1] é o círculo
trigonométrico.
- Se z estiver dentro do círculo trigonométrico, estritamente dentro, então z-1 estará fora do círculo trigonométrico.
Esta é a famosa relação de módulo entre z e z-1:
o módulo do inverso (multiplicativo) de um numero é o inverso (multiplicativo) do módulo do número,
se houver o inverso.
Mas existe apenas um número, complexo ou real, que não tem inverso multiplicativo, o zero.
O programa calculadora
exibe esta relação mostrando a posição relativa, ao círculo trigonométrico, de z
e de z-1.
A notação de Euler
Se atribui a Euler uma importante fórmula que neste momento estou chamando de notação porque ainda não posso
provar que é uma fórmula. De Moivre também esteve envolvido com esta fórmula e certamente mais gente o esteve,
mas vou seguir chamando como é convenção "notação de Euler". Quando estudarmos a função exponencial, dentro de duas
semanas, vamos ver que se trata de uma fórmula.
Notação de Euler: eit = cos(t) + i sin(t)
A representação geométrica da notação de Euler aparece na figura
Do ensino médio sabemos duas fórmulas sobre somas de ângulos:
- cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a) sin(b)
- sin(a+b) = cos(a)sin(b) + cos(b)sin(a)
Se usarmos a notação de Euler vamos encontrar novamente estas fórmulas:
- eia = cos(a) + i sin(a)
- eib = cos(b) + i sin(b)
- eia eib = (cos(a) + i sin(a)) (cos(b) + i sin(b))
- eia eib = cos(a)cos(b) - sin(a) sin(b) + i [cos(a)sin(b) + cos(b)sin(a)]
- eia eib = cos( a + b) + i sin( a + b) = ei(a+b)
Observe que nas equações acima há uma mistura de "notação" e "matemática"...
Por exemplo nas equações (3), (4) e (5), no primeiro membro você lê um "produto de notações"
que é uma operação ilegal.
No meio da equação (5) você tem o resultado do produto de dois números complexos que aparecem nas equações (1) e (2).
Aceitando a notação de Euler como uma simples notação, concluímos destas "contas" que a notação de Euler funciona como
se fosse uma exponencial (depois vamos ver que de fato é): produto de potências de mesma base - soma dos expoentes, é o
conteúdo da equação (5).
Do Ensino Médio - preparação para o vestibular ou equivalente - você viu a fórmula da soma de arcos que estou usando
entre as equações (4) e (5), chamando a parte real que aparece na equação (4) de cos(a+b) e a parte imaginaria,
que aparece na equação (4), de sin(a+b).
Conclusão: A notação de Euler lhe oferece um meio mais efetivo e científico para lembrar-se das fórmulas da
soma de arcos do que o verso de Castro Alves.... e eu entendo que isto já é um grande avanço.
Esta discussão cobre até a questão 6 da lista 05, obviamente, se espera que você faça as contas para decidir o que é verdadeiro
ou falso.
A questão 07 da lista 05
Vamos descobrir a derivada de f(x) = sin(x).
Consiste no estudo do comportamento do operador quociente aplicado à função seno. Passa por uma desigualdade que vai usar
o teorema do sanduiche, acompanhe as contas, analise um gráfico no círculo trigonométrico.
Como consequência podemos descobrir a derivada do coseno.