Este texto ainda está em preparação, quando estiver pronto, esta observação irá desaparecer.
Palavras chave Derivada, indução finita, integração, sucessão,

Indução finita

Artimética com funções

Derivada - noção geométrica

O objetivo da lista 04 é de iniciar, de um ponto de vista geométrico, o estudo da derivada.

A figura
lhe mostra uma pedra que percorre uma rota circular presa a um cordão que, num certo ponto do tempo, é rompido. A figura mostra a rota da pedra depois que o cordão for rompido.
Uma das trajetórias é a verdadeira, e a outra poderia ser verdadeira fora do ambiente Terra - ou melhor - em um ambiente afastado de qualquer corpo com muita gravidade, situação ideal que não existe....
Vemos duas curvas tangentes ao gráfico da trajetória circular no instante em que o cordão for rompido.
Deixando de lado a verdade física, vou supor, por um momento, que a rota da pedra pudesse ser a reta tangente.
Quero saber qual é o significado desta tangente: Retas são curvas com coeficiente angular constante.
Há alguns conceitos que são relativos, não tem existência por si próprios:
velocidade, distância, coeficiente angular.
são alguns exemplos.
Mesmo assim as vezes falamos destes conceitos sem primeiro estabelecer um referêncial, até porque vivemos físicamente dentro de um referêncial sendo isto tão forte como experiência que nos esquecemos da relatividade dos conceitos. É preciso ter consciência disto mas podemos seguir usando a linguagem usual.
Retornando à reta tangente, ela memoriza o coeficiente angular instantâneo do círculo no ponto de quebra do cordão. Quer dizer que podemos calcular o coeficiente angular instantâneo de uma curva usando retas tangentes. Isto é feito na lista 04 no exercício 01, em que a curva é o gráfico de uma função.
O gráfico

lhe mostra como podemos calcular o coeficiente angular instantâneo do círculo em alguns pontos usando segmentos de reta tangentes.
Faça. agora, a questão 01 da lista 04.
Observe (para uso futuro) que os segmentos de reta tangentes são orientados e esta orientação é compatível com a orientação do movimento sobre o círculo, ou sobre uma curva qualquer onde você esteja considerando "vetores tangentes". Vamos ver, depois, que a derivada permite calcular em que sentido uma curva está sendo percorrida. Logo logo eu vou poder explicar aquela afirmação que você conhece bem, mas que não nenhuma justificativa da mesma:

o sentido natural de percurso do círculo trigonométrico é o anti-horário.

Com derivadas eu vou poder explicar porque tem que ser assim (e não tenho culpa de que os fabricantes de relogio inverteram o sentido natural para os ponteiros...Bom, primeiro vieram os relógios, depois as curvas e o círculo trigonométrico...
Sabemos calcular coeficiente angular exatamente apenas de segmentos de retas, das demais curvas vamos ter que calcular aproximadamente, mas logo vamos descobrir, usando limite, que é possível obter fórmulas para calcular o coeficiente angular exatamente em muitos casos: é a derivada.
Da mesma forma como fizemos com a integral, primeiro entendemos o cálculo aproximado, e expliquei a integral como sendo a área delimitada pelo gráfico de uma função, o eixo OX e duas condições, inicial e final. Depois, com limites, descobrimos fórmulas exatas para alguns casos.
É este o objetivo da lista 04.

Por que aritmética com funções?

Vamos estudar as regras de derivação, a derivada da soma, a derivada do produto.... e neste ponto não vamos mais usar limite diretamente e sim as regras de derivação que são consequência da aritmética com funções. É preciso vermos - experimentalmente - que podemos fazer operações com funções.

O programa exer04_01.gnuplot é um laboratório para que você verifique que é existe uma aritmética com funções e que gnuplot sabe executar estas operações. Mais do que verificar, você deve alterar o programa pois esta é uma forma de se envolver com os cálculos e entender melhor como eles funcionam.

Mas voltando a razão, definimos a derivada como um limite de quocientes, apenas este método deixa de ser prático e é preciso sofisticar mais a técnica para obter mais rapidez. É aqui que entrar as relações entre a derivada e as operações da artimética com funções.

O nosso objetivo é descobrir qual é a derivada da soma de duas funções, do produto de duas funções:

  1. derivada da soma;
  2. derivada do produto;
  3. Quando soubermos regras para derivação de soma e produto, poderemos calcular as derivadas de qualquer polinômio.
  4. derivada da função composta, esta tem um nome curioso, regra da cadéia;
  5. derivada do quociente;
  6. derivada da translação;
  7. derivada da função inversa;

Vamos mais adiante ver que algumas dessas regras nos permitirão descobrir derivadas de outras funções. Portanto, acredite, vale a pena o esforço teórico que vamos fazer para compreender a relação entre derivação e as operações da aritmética com funções.

Comentando a lista no. 4

A primeira questão tem o objetivo de reforçar o significado geométrico da derivada que já vem nos acompanhando desde a questão da pedra rodando presa a um cordão. A derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (a,f(a)). A equaçao da reta que passa neste ponto é

y - f(a) = m(x-a)

a reta que passa no ponto (a,f(a)) com coeficiente angular m. Como desejamos que a derivada seja o coeficiente angular da reta tangente, com a notação f´(a), a equação da reta tangente, neste ponto (a,f(a)) é

y - f(a) = f´(a)(x-a)

Neste momento é pura notação, não estamos demonstrando nada. Apenas chamamos de f´(a) ao coeficiente angular instantâneo da função f no ( a, f(a)) que é o mesmo da reta tangente por motivos geométricos.

Então na primeira questão vamos calcular o coeficiente angular das tangentes nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e, por motivos geométricos, decidir se a afirmação sobre a derivada é verdadeira.

A segunda questão estimula o uso do programa exer04_01.gnuplot como um laboratório para manipular operações aritméticas com funções. É preciso usar este programa e modificá-lo até que você sinta que tem uma boa intuição sobre esta aritmética.

As questões terceira e quarta vão manipular os operadores diferença e quociente associando-os ao tipo de função em que é mais fácil usá-los, as funções polinomiais. Isto vai justificar porque a derivada de uma função do grau n é uma função do grau n-1, porque o operador quociente produz uma função de grau n-1 quando aplicado a uma função do grau n.

A quinta questão começa a fazer associação entre os operadores diferença e quociente e a aritmética de funções. Um par de resultados chama nossa atenção:

  1. O quociente da soma é a soma dos quocientes;
  2. O quociente do produto não é o produto dos quocientes;

O item (d) da quinta questão vai nos conduzir à relação entre produto e derivada:

(uv)´ = u´v + uv´

é a relação que vamos descobrir. Para isto vamos fazer uma operação corriqueira em Matemática somar e subtrair um mesmo termo, quer dizer, não somar nada, para tirar uma conclusão!
O termo que vamos somar e subtrair é muito especial, é um produto de f(x+rho)g(x) que vai nos permitir colocar em evidência primeiro f(x+rho) e depois g(x). Quando dividirmos pela diferença "rho" vamos descobir:

"quociente do produto é o produto de f pelo quociente de g mais o produto de g pelo quociente de f"

e passando ao limite quando "rho=0" chegamos na regra de derivação para o produto.

A sétima questão vai nos conduzir á regra da cadéia: f(g(x))´ = f´(g(x))g´(x). Aqui, novamente, vamos usar o artíficio de "nada fazer", agora vamos multiplicar dividir pelo mesmo número para, em seguida, descobrir que podemos assim fazer surgir a derivada de f e depois a de g produzindo a regra da cadéia: um encadeamento de derivadas.

A lista termina com algumas derivadas conhecidas onde vamos aplicar a derivada da função composta.

Você está convidado a ler este tópico em algum dos livros que encontrar na biblioteca para comparar o método expositivo que estou usando com o de outros autores. Certamente você irá adquirir uma visão mais ampla do assunto nesta comparação.

O laboratorio exer04_02.gnuplot

Vou terminar esta exposição me concentrando no laboratório que é o programa exer04_02.gnuplot. Este programa é uma sessão de laboratório dedicada ao operador quociente.
É importante que você rode o programa, que o leia, e volte a rodar. E não deixe de me escrever um e-mail apresentando suas dúvidas. Há diversos fatos novos envolvidos e você precisa de tempo para compreendê-los e dominá-los, mas não basta olhar o programa rodando, é preciso se envolver.
Na parte final ele vai usar a derivada aproximada - operador quociente com um parâmetro muito pequeno para conseguir uma aproximação da derivada do seno.

Entre outras coisas este programa vai ensiná-l@ a chamar um programa externo de dentro do gnuplot (neste caso outra sessão de gnuplot) - quer dizer, estou fazendo sessões iterativas de gnuplot. Este é um processo muito poderoso (infelizmente a memória do gnuplot é muito reduzida limitando as possibilidades destas iterações). Mas você vai ver que é possivel fazer isto. O programa exer04_02.gnuplot chama

  1. exer04_02_01.gnuplot, experiências com funções do segundo grau.
  2. exer04_02_02.gnuplot , experiências com funções do terceiro grau.
  3. exer04_02_03.gnuplot, tenta calcular a derivada de uma função descontínua... Para isto o programa vai lhe mostrar como definir uma função usando duas sentenças, portanto com if dentro do código da função. gnuplot tem um if/else muito resumido que herdou da linguagem C. O programa lhe explica o uso deste if/else.
  4. exer04_02_04.gnuplot, experiências com a função seno.

A derivada do seno

O programa exer04_02_04.gnuplot produz os gráficos das funções Qr(sen), Dr(sen) e da função sen, para alguns valores da diferença r escolhidos dentro do programa,0.5, 0.2, 0.1, 0.01

Voce pode ver o primeiro gráfico feito pelo programa

a derivada aproximada do seno

A função y = sen(x) aparece em vermelho e a função Qr(sen) aparece em verde. Podemos ver que a função quociente tem a aparência de uma translação da função seno. Continuando a execução do programa você ver que a função diferença, que aparece com a cor azul, diminue de amplitude e que não há diferença "aparente" entre os gráficos das funções que aparecem em cor vermelha e verde, respectivamente, seno e Qr(sen) para os distintos valores da "x-diferença r" - a diferença no eixo OX que em Matemática estou designando com a letra grega "rho".

Ora, as funções Qr(sen) são as derivadas aproximadas e podemos ver aqui que é pouco visível, a olho nú, qualquer distinção entre estas derivadas aproximadas (embora exista distinção, não podemos perceber com os olhos). A conclusão que estou tentando conduzí-lo a aceitar é a de que a derivada do seno parece ser uma translação do seno. Eu vou provar que é, mas você já pode observar que "parece que é".

Esta é uma das características da forma como você está estudando Cálculo aqui, estou usando métodos experimentais na disciplina, estamos rodando programas de computador, como é o caso de exer04_02*.gnuplot, para descobrir como pode ser um determinado resultado, antes de fazer uma demonstração formal do mesmo.

Se você continuar rodando o programa exer04_02_04.gnuplot , quando "rho=0.01" você terá a melhor aproximação da derivada que o programa faz, experimente com o ratinho o ponto em que a derivada aproximada se anula, o próximo do ponto zero onde a função seno se anula. Você deve ver o número -1.68053 (ou um valor próximo deste) aparecer no canto inferior direito do terminal do gnuplot (rodando Linux, com certeza...). Este valor é aproximadamente "- pi/2" e a conclusão que desejo que você aceite é que você está vendo a translação y = sin(x+pi/2).

Você pode verificar a "verisimilitude" desta afirmação se você fizer o seguinte:

  1. acrescente no programa as definições
    1. pi = 4*atan(1); ## valor aproximado para pi usando a função atan()
    2. g1(x) = sin(x + pi/4) ## translação de -pi/4 do seno
    3. g2(x) = cos(x);

      Isto deve ser feito logo antes do primeiro módulo em aparece o primeiro valor de rho= 0.5.

      Observo que em versão anterior do programa eu estava usando a variável "delta" para diferença em OX. Alterei para "rho" afim de garantir uma linguagem mais adequada - estou usando "rho" de forma sistemática, sempre que trabalho com o operador quociente.
  2. Acrescente dentro do comando plot "g1(x), g2(x)" (observe, sem aspas...).
  3. Retire do comando plot a função diferença "D_g(x)" para que o gráfico fique menos confuso, apareça apenas aquilo que agora interessa.

O resultado disto é o programa exer04_02_04b.gnuplot que já se encontra também no link "programas" da página. Observe que é interessante que você tente fazer estas modificações você mesmo, leia o programa exer04_02_04b.gnuplot apenas se você precisar de verificar a correção do seu programa, mas tente você mesmo fazer isto.

A conclusão é que (sen(x))´ parece ser cos(x). Devemos provar isto!