Palavras chave: indução finita, interpretação
geométrica da integral, limite, sucessão,
somas, somas de Riemann.
1. Interpretação geométrica da integral
Na aula de quinta-feira, dia 12 de Agosto, mostrei como se pode entender a
integral e mostrei este gráfico:
no qual se pode ver uma função constante - a velocidade constante de um
móvel entre dois momentos a,b do tempo.
Quer dizer que a área delimitada pelo gráfico da função, pelo eixo OT (eixo
do tempo), entre os momentos a,b - no intervalo [a,b] é um
produto:
base x altura
(b-a) x V0
neste caso a velocidade é uma constante V0 e como a velocidade é
medida como um quociente "distância/tempo" quando fizermos a multiplicação
vai resultar na grandeza "distância percorrida".
Este exemplo mostra que podemos interpretar a área que aparece no gráfico
como a distância percorrida.
Esta área é representada em Matemática com o símbolo 
que a gente lê "integral de v de a até b " ou "integral de v
sobre o intervalo [a,b]".
Então o Cálculo constrói uma interpretação de área para representar a
quantidade de um certo fenômeno, que é a integral. Se você se aprofundar em
Matemática vai encontrar generalizações do conceito da integral, mas
esta forma de ver é suficiente para as necessidades que vamos ter no Cálculo.
2. A área do Cálculo é uma generalização
Mas a integral, que é a área do Cálculo, já é uma
generalização do conceito de "área" que você viu no Ensino Médio.
A integral pode ser negativa, zero, positiva...
Deixe-me lhe mostrar um exemplo bem simples de que pode e deve ser assim. No
próximo gráfico você vê um pêndulo 
O pêndulo já foi muito importante na vida da gente (e continua sendo de outra
forma em que energia é gasta inutilmente - causando aquecimento - portanto é
preciso adquirir consciência disto para retornar a um modo de vida
racional....).
Antes haviam relógios de pêndulos e continua havendo, agora o pêndulo
é uma célula de quartz que é estimulada por um circuíto elétrico emitindo
uma onda, que "oscila" como o pêndulo mecânico oscilava sem gastar energia de
petróleo, (gastava energia de feijão).
Mas, retornando ao gráfico acima, supondo que não haja atrito no suporte
do pêndulo e nem resistência com ar, nestas condições idéais, você
solta o pêndulo e depois de alguns instantes ele retorna para sua mão.
Quer dizer que houve uma distância zero percorrida!
Para que eu possa montar o modêlo matemático que descreve esta situação eu
preciso de interpretar parte deste movimento como "velocidade negativa" e
portanto como "distãncia negativa" que anula a primeira distãncia percorrida
pelo pêndulo.
Você pode ver neste exemplo dois conceitos:
- Os modelos matemáticos são invenções para explicar a
realidade! Algumas vezes temos que criar condições ideais para ver os
fenômenos funcionando e assim montar uma teoria mais simples.
Depois complicamos a teoria "incluíndo mais realidade", aos pouquinhos,
até conseguirmos um modelo matemático bastante complexo que descreva a
realidade real....
- A integral, é a área da Matemática, é chamada algumas vezes de
"área algébrica", é uma generalização do conceito "área" da
geometria, tem sinal, pode ser zero, pode ser negativa ou positiva.
3. Objetivo desta interpretação: motivação ....
A curto prazo o meu objetivo é motivá-l@ para aprender a calcular somas como
estas que se apresentam nas listas, e também entender o método de
demontração de que falei nas listas zero, a indução finita.
Vou agora repetir o exemplo que construi em aula, o cálculo da integral quando
a função v não é mais uma constante, uma parábola, que representa um caso
da Física também, descreve quando um corpo cai "livremente" apenas submetido
á força de gravidade.
Você poderia me perguntar, e porque não discutir o caso do pêndulo?
Infelizmente o caso do pêndulo é muito complexo para este momento inicial da
disciplina, mais para frente poderemos voltar ao caso do pêndulo quando já
tivermos mais informação para discutí-lo.
E neste momento o meu objetivo é outro, quero mostrar como as somas de
expressões algébricas podem nos conduzir a cálcular exatamente o
valor de algumas integrais.
Vou também motivá-l@ para estudar um assunto difícil, limite, que
vai aparecer agora neste exemplo. Quero calcular a integral do corpo que caí
em queda livre.
Lembre-se do que disse acima, para obter modelos primeiro simplificamos um
pouco a realidade até encontrarmos alguma coisa que consigamos calcular,
depois voltamos atrás "colocando de volta realidade" para obter um modelo mais
complexo.
Vou fazer isto agora, simplificar a realidade para conseguir um modelo menos
complicado.
Você estudou em Física que a velocidade de um corpo que cai em queda livre é
descrito por uma parábola - equação das funções que produzem as equações
do segundo grau:
v(t) = s0 + v0 t + g
t2
Cada uma destas "constantes" tem um sentido bastante preciso:
- "distância inicial" é s0 - é a altura a partir da qual o
corpo foi lançado;
- v0 é a velocidade inicial com que o corpo foi lançado;
- g é a aceleração da grávidade - a única força que se
considera ao discutir um corpo que cai em queda livre - aqui já estamos
fazendo uma redução da realidade desprezando a resistência do ar que
para muitos casos é tão pequena que pode ser desconsiderada mesmo.
Na minha simplificação da realidade vou considerar apenas a função:
v(t) = t2
e explico porque: o resto (que desprezei) tem uma integral fácil, a
constante e a função do primeiro grau. Se eu conseguir calcular a integral da
parte do segundo do grau, o resto vai ser fácil de conquistar! Você vê assim
como construimos a teoria, claro, neste momento eu estou explicando a teoria e
já conheço um caminho mais simplificado, mas mesmo quando eu estou aprendendo
a teoria, eu faço o mesmo, começo fazendo algumas simplificações para me
concentrar na parte mais difícil, depois vou acrescentando os "complementos"
para construir a teoria completa.
Então eu vou lhe mostrar como calcular a integral da parábola que você vê
no gráfico abaixo 
Seja crític@ e observe que estou fazendo uma simplificação enorme!
e o melhor, vai funcionar! Você vai entendercomo usar somas para
calcular esta integral e o próximo passo vai ser bem mais simplificado,
quando eu começar a incluir mais realidade na questão...
4. Como calcular integrais quando a fronteira não for retilínea
Eu fiz esta pergunta em aula e alguém teve uma idéia que me ajudou a
construir um método, um algoritmo. O gráfico que fiz em aula com apoio de um
aluno, foi este:
em que área de um triângulo inscrito na parábola representa uma aproximação da área da
parábola.
O que vou agora explicar vem de Arquimedes, o grego, há mais de 2000 anos. Ele
inventou um método que chamou de exaustão embora hoje os livros de Cálculo
digam que o Cálculo foi inventado
por uma meia dúzia de matemáticos dos séculos 16 e 17.
Em vez de usar triângulos eu vou usar uma aproximação ainda pior, mas que
logo veremos ser excelente para tornar computacional. Compare com a figura
abaixo:
Parece mais complicado, mas logo você vai ver que o aumento de complicação
vale a pena.
Como obter os retãngulos ?
Temos que montar um método, um algoritmo.
Voucomplicar ainda um pouquinho mais, para isto considere este novo
gráfico! 
Neste último gráfico eu fiz tudo algebricamente!
Se convença, precisamos de aprender a escrever formalmente para poder
nos comunicar com computadores. Embora estas máquinas sugiram a idéia de que
elas "uma coisa prática", na verdade não são! para nos comunicarmos com a
máquina precisamos de escrever textos com grande nível de formalização,
abstratos... e corretos! Redação precisa, sem erros, sem as abreviações
grotescas dos diálogos na Internet induzidas por sites superficiais.
É isto que você vai ver, ao final, vou lhe mostrarum programa que
calcula integrais aproximadamente e, aqui está o sumo da coisa, vou
poder descobrir o valor exato da integral da parábola apenas
avaliando a expressão aproximada que vou escrever e usar no
programa.
4.1 Analisando o gráfico e escrevendo as expressões
No último gráfico acima:
- O domínio foi dividido, dizemos particionado ou então que os
nós formam uma rede ou malha no intervalo
[a,b];
- Os nós são equidistantes, dizemos que é uma partição
ou malha uniforme;
- os nós formam uma progressão aritmética cujo termo
inicial é a;
- Para obter os nós, dividi o tamanho do intervalo, b-a, por
um número n "grande" que é a razão da progressão
aritmética;
- O número n, que deve ser um número natural grande, é o que garante a
precisão maior da aproximação.
Um programa
O programa que vou agora discutir é uma alteração do programa riemann.calc que você pode encontra
na página.
A versão que estiver na página pode ser um pouco diferente da que vou
discutir aqui, como aconteceu durante a aula. É um programa escrito em calc.
Uma observação é capital, aqui! Eu não estou supondo que você saiba
programar, considere os programas como um instrumento audi-visual que pode
ilustrar como a Matemática funciona. Entretanto você também pode aproveitar
a oportunidade e aprender a programar.
Estou usando linguagens de programação de livres, distribuidas sob a GPL e
portanto você não precisa desembolsar um centavo para adquirir a linguagem. A
linguagem que vou usar se encontra instalada nos computadores do lab de
informática. Não perca a oportunidade de aprender a programar!
Um programa na linguagem calc, como também em C++ ou em Python ou em LISP, tem
uma função principal que chama outras funções que fazem parte do
trabalho.
É a modularização típica das linguagens funcionais (e tem gente que torce o
nariz quando a gente diz que C++ é uma linguagem funcional.... questão de
pre-conceito).
Em C++ ou em Java esta função principal recebe um nome particular
main(), nas outras lnguagens citadas acima esta denominação é
livre, mas você pode também adotá-la o que irá tornar os seus programas
mais legíveis porque todo mundo que os ler irá facilmente identificar qual é
a função que gerencia o esquema.
No programa riemann.calc a função principal é
Riemann(inicio, fim, n) que mais ou menos segue a regra de
denominação da função principal mas usando o nome do "programa" (que as
vezes chamamos de script quando estamos lidando com linguagens interpretadas
(Python, calc, LISP).
O programa riemann.calc
O símbolo /* abre um comentário que é fechado pelo símbolo
*/ mas também podemos definir comentários no meio de linhas (ou no
começo) que escondem aquela parte da linha do interpretador, então usamos o
símbolo # para isto. Em geral colocamos mais de um para realçar. É o que
acontece nesta linha:
soma *=deltax; ## soma = soma*deltax
em que usei um atalho típico da linguagem C++ (ou Python ou Java) e
coloquei um comentário traduzindo de forma mais humana o significado do
atalho.
A função f(x) é que desejo integrar
A função Riemann() é a que calcula a soma de
Riemann.
Vou escrever algum texto (comentários) explicando Riemann() logo
depois do texto da função. Vou usar comentários do tipo /* */
porque e um texto mais longo.
Para rodar usando calc, raspe e cole o programa num arquivo chamado, por
exemplo, riemann.calc e depois execute num terminal (no mesmo diretório - ou
tendo o cuidado de informar o caminho)
calc < riemann.calc
O resultado vai ser :
f(x) redefined
Riemann(inicio,fim,n) defined
I = 0.333283335
Nas duas primeiras linhas calc @ informou que leu corretamente as funções
f(), Riemann() e na terceira linha saiu o resultado do cálculo da soma de
Riemann.
Quer dizer, a soma de Rieman, para n = 10000 é um terço, com um erro na
quarta casa decimal depois da vírgula, quer dizer um erro da ordem de 0.0001.
Você pode obter melhores resultados, mas o tempo de processamento não é
compensador, se você usar n muito maior.
Este resultado já ilustra muito bem o que afirmei acima de que para grande
valores de n todos os termos da expressão da soma "tendem a zero" (o limite é
zero) exceto o termo constante e assim o limite da soma é 1/3 como o programa
está sugerindo.
/* Programa riemann01.calc
Assunto: Somas de Riemann
Descrição: cálculo de integrais aprox por somas de
Riemann palavras chave: Riemann, integral, varredura
por Tarcisio Praciano Pereira - C para matemáticos
Sobral, Dezembro de 2005 - UeVA
*/
define f(x) {return power(x,2);}
define Riemann(inicio, fim, n) {
local soma=0,x=inicio, deltax = (fim-inicio)/n;
while (x < fim) {
soma = soma + f(x);
x +=deltax; ## x = x + delta;
}
soma *=deltax; ## soma = soma*deltax
print "I = ",re(soma);
return(0);
} ## fim da definição de Riemann(inicio,fim,n)
/* isto é um comentário
esta função tem um laço -
while(x < fim) - enquanto x < fim.
Como x está sendo alterado a medida que o laço
evolui, na linha
x +=deltax; ## x = x + delta;
então há um momento em que x > fim que é quando
o laço para de ser executado.
O laço está delimitado por { e por }. Observe que
dentro do laço estou apenas acumulando f(x) em soma. Isto equivale à usar a
propriedade distributiva.
Ao terminar a soma de todos os valores de f em cada um
dos nós (exceto o último, b) multiplico soma por deltax .
*/ ### fim do comentário
inicio = 0; fim = 1; n = 10000; ## dou valores à
inicio, fim, n
quit; ## sai do calc
Riemann(inicio,fim,n); ## chamo a função principal que imprime o
resultado