Os números complexos

Vários autores, em diferentes épocas, e com diferentes níveis de abstração trataram dos números complexos aqui você tem um texto em inglês, ou em português. Eu aqui tenho um objetivo específico, vou mostrar que as operações com números complexos, quando aplicadas ao par trigonometrico

cos(t) + i sin(t) = eit

como visto por Euler, - a notação de Euler - nos conduz a alguns resultados interessantes. Um deles, é a fórmula da soma dos arcos.
Com a fórmula da soma dos arcos e mais algumas desigualdades de fundo geométrico, eu vou deduzir a derivada do seno e depois a derivada do coseno, na verdade a lista 05 faz isto.

Representação geométrica dos números complexos

Um número complexo é um par de números reais - apenas isto. Historicamente eles surgiram como uma combinação linear de um novo elemento, o número i que foi inventado para satisfazer á equação:



i2 = -1;

Uma invenção! Como foram inventados os números negativos, para representar dívidas, e depois foram inventados os número fracionários para podermos considerar os números entre dois inteiros - ou simplesmente representar os pedaços de algum inteiro que era preciso dividir.

Depois inventamos os números reais para suprir a falta de mensurabilidade que Arquimedes sentia na hipotenusa de certos triângulos retângulos, como o triângulo retângulo de catetos iguais medindo 1, que mede sqrt(2) e não pode ser um número racional.

Assim os matemáticos da idade média resolveram uma necessidade representada na equação



i2 = -1;

inventando um número que resolvesse esta equação e se aplicarmos esta invenção à expressão de Baskhrara para as raizes de uma equação do segundo grau vamos ter

  1. i2 = -1;
  2. (x - 3)2 = -1 ;
  3. x -3 = ± i;
  4. x = 3 + i ou x = 3 - i;
Se você experimentar esta nova idéia com qualquer equação com discriminante negativo vai ser conduzido a escrever um número da forma a + bi. Eis um exemplo:

solução de uma equação algébrica

Entretanto um número complexo é apenas um par de números reais e a "unidade imaginária" supriu uma solução psicológica que ainda se mantém necessária e não vou lutar contra ela mas sim fazer uso dela.
Então considerando que um número complexo seja um objeto da forma a + bi com dois números reais, a,b chamados "parte real", o "a" e parte imaginária, o "b", junto com o objeto "i" satisfazendo à condição

i2 = -1;

podemos construir uma nova álgebra que contém a álgebra dos reais. Não vou construir esta álgebra aqui, vou assumir que ela é intuitiva e vou fazer uso dela para os meus objetivos. Sugiro que você use um bom livro de ensino médio onde apareçam os números complexos e faça alguns exercícios com eles para completar as idéias.

A representação geométrica dos números complexos

Como um número complexo é um par de números reais, então o conjunto dos números complexos servem para dar endereço ao plano inteiro. Esta é uma forma de dizer que podemos representar qualquer número complexo como um ponto do plano...

representação geométrica dos complexos

A figura acima mostra o número complexo u = (c,d) = c + di, e o número complexo v = (a,b) = a + bi. Também mostra que a soma de números complexos pode ser vista geometricamente, com a regra do paralelogramo, ou como soma de vetores bididimensionais em que somamos "ordenada com ordenada" e "abcissa com abcissa".

Assim, enquanto que o conjunto dos números reais fica representado por uma reta, os números complexos, , ficam representados pelo plano.

Uma questão comum em textos introdutórios sobre números complexos:

soma de números complexos

Euler escreveu uma expressão em que ele via uma propriedade da exponencial, que eu chamei acima de fórmula de Euler. Para mim, neste texto, é apenas uma fórmula que funciona de forma interessante e que a lista 05 explora na questão nr. 5.

A fórmula de EulerÉ uma fórmula! um nome para o número complexo fórmula de Euler .

Mas o que tem de interessante é que quando multiplicarmos estes dois númerosdois números trigonométricos de Euler as coordenadas vão se arrumar de forma bem lógica e vamos poder descobrir a expressão da soma de arcos que vai aparecer na opção correta. As opções erradas tem como finalidade obrigá-l@ a trabalhar. É o objetivo desta questão.

A questão 6 usa quociente de diferenças, o operador quociente, para concluirmos que

  1. sin'(x) = cos(x);
  2. cos'(x) = -sin(x);

As questões finais servem para melhorar o seu treinamento nos cálculos.