A artimética com as funções

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Por que aritmética com funções?

Vamos estudar as regras de derivação, a derivada da soma, a derivada do produto.... e neste ponto não vamos mais usar limite diretamente e sim as regras de derivação que são consequência da aritmética com funções. É preciso vermos - experimentalmente - que podemos fazer operações com funções. Já fizemos isto com sinais na lista 03.

O programa exer04_01.gnuplot é um laboratório para que você verifique que é existe uma aritmética com funções e que gnuplot sabe executar estas operações. Mais do que verificar, você deve alterar o programa pois esta é uma forma de se envolver com os cálculos e entender melhor como eles funcionam.

Mas voltando a razão, definimos a derivada como um limite de quocientes, apenas este método deixa de ser prático e é preciso sofisticar mais a técnica para obter mais rapidez. É aqui que entrar as relações entre a derivada e as operações da artimética com funções.

O nosso objetivo é descobrir qual é a derivada da soma de duas funções, do produto de duas funções:

  1. derivada da soma;
  2. derivada do produto;
  3. derivada da função composta, esta tem um nome curioso, regra da cadéia;
  4. derivada do quociente;
  5. derivada da translação;
  6. derivada da função inversa;

Vamos mais adiante ver que algumas dessas regras nos permitirão descobrir derivadas de outras funções. Portanto, acredite, vale a pena o esforço teórico que vamos fazer para compreender a relação entre derivação e as operações da aritmética com funções.

Comentando a lista no. 4

A primeira questão tem o objetivo de reforçar o significado geométrico da derivada que já vem nos acompanhando desde a questão da pedra rodando presa a um cordão. A derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (a,f(a)). A equaçao da reta que passa neste ponto é

y - f(a) = m(x-a)

a reta que passa no ponto (a,f(a)) com coeficiente angular m. Como desejamos que a derivada seja o coeficiente angular da reta tangente, com a notação f´(a), a equação da reta tangente, neste ponto (a,f(a)) é

y - f(a) = f´(a)(x-a)

Neste momento é pura notação, não estamos demonstrando nada. Apenas chamamos de f´(a) ao coeficiente angular instantâneo da função no ( a, f(a)) que é mesmo da reta tangente por motivos geométricos.

Então na primeira questão vamos calcular o coeficiente angular das tangentes nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e, por motivos geométricos, decidir se a afirmação sobre a derivada é verdadeira.

A segunda questão estimula o uso do programa exer04_01.gnuplot como um laboratório para manipular operações aritméticas com funções. É preciso usar este programa e modificá-lo até que você sinta que tem uma boa intuição sobre esta aritmética.

As questões terceira e quarta vão manipular os operadores diferença e quociente associando-os ao tipo de função em que é mais fácil usá-los, as funções polinomiais. Isto vai justificar porque a derivada de uma função do grau n é uma função do grau n-1, porque o operador quociente produz uma função de grau n-1 quando aplicado a uma função do grau n.

A quinta questão começa a fazer associação entre os operadores diferença e quociente e a aritmética de funções. Um par de resultados chama nossa atenção:

  1. O quociente da soma é a soma dos quocientes;
  2. O quociente do produto não é o produto dos quocientes;

O item (d) da quinta questão vai nos conduzir à relação entre produto e derivada:

(uv)´ = u´v + uv´

é a relação que vamos descobrir. Para isto vamos fazer uma operação corriqueira em Matemática somar e subtrair um mesmo termo, quer dizer, não somar nada, para tirar uma conclusão! O termo que vamos somar e subtrair é muito especial, é um produto de f(x+rho)g(x) que vai nos permitir colocar em evidência primeiro f(x+rho) e depois g(x). Quando dividirmos pela diferença "rho" vamos descobir:

"quociente do produto é o produto de f pelo quociente de g mais o produto de g pelo quociente de f"

e passando ao limite quando "rho=0" chegamos na regra de derivação para o produto.

A sétima questão vai nos conduzir á regra da cadéia: f(g(x))´ = f´(g(x))g´(x). Aqui, novamente, vamos usar o artíficio de "nada fazer", agora vamos multiplicar dividir pelo mesmo número para, em seguida, descobrir que podemos assim fazer surgir a derivada de f e depois a de g produzindo a regra da cadéia: um encadeamento de derivadas.

A lista termina com algumas derivadas conhecidas onde vamos aplicar a derivada da função composta.

Você está convidado a ler este tópico em algum dos livros que encontrar na biblioteca para comparar o método expositivo que estou usando com o de outros autores. Certamente você irá adquirir uma visão mais ampla do assunto nesta comparação.

O laboratorio exer04_02.gnuplot

Vou terminar esta exposição me concentrando no laboratório que é o programa exer04_02.gnuplot. Este programa é uma sessão de laboratório dedicada ao operador quociente. Na parte final ele vai usar a derivada aproximada - operador quociente com um parâmetro muito pequeno para conseguir uma aproximação da derivada do seno.

Entre outras coisas este programa vai ensiná-l@ a chamar um programa externo de dentro do gnuplot (neste caso outra sessão de gnuplot) - quer dizer, estou fazendo sessões iterativas de gnuplot. Este é um processo muito poderoso (infelizmente a memória do gnuplot é muito reduzida limitando as possibilidades destas iterações). Mas você vai ver que é possivel fazer isto. O programa exer04_02.gnuplot chama

  1. exer04_02_01.gnuplot, experiências com funções do segundo grau.
  2. exer04_02_02.gnuplot , experiências com funções do terceiro grau.
  3. exer04_02_03.gnuplot, tenta calcular a derivada de uma função descontínua... Para isto o programa vai lhe mostrar como definir uma função usando duas sentenças, portanto com if dentro do código da função. gnuplot tem um if/else muito resumido que herdou da linguagem C. O programa lhe explica o uso deste if/else.
  4. exer04_02_04.gnuplot, experiências com a função seno.

A derivada do seno

O programa exer04_02_04.gnuplot produz os gráficos das funções Qr(sen), Dr(sen) e da função sen, para alguns valores da diferença r escolhidos dentro do programa,0.5, 0.2, 0.1, 0.01

Voce pode ver o primeiro gráfico feito pelo programa

a derivada aproximada do seno

A função y = sen(x) aparece em vermelho e a função Qr(sen) aparece em verde. Podemos ver que a função quociente tem a aparência de uma translação da função seno. Continuando a execução do programa você ver que a função diferença, que aparece com a cor azul, diminue de amplitude e que não há diferença "aparente" entre os gráficos das funções que aparecem em cor vermelha e verde, respectivamente, seno e Qr(sen) para os distintos valores da "x-diferença r" - a diferença no eixo OX que em Matemática estou designando com a letra grega "rho".

Ora, as funções Qr(sen) são as derivadas aproximadas e podemos ver aqui que é pouco visível, a olho nú, qualquer distinção entre estas derivadas aproximadas (embora exista distinção, não podemos perceber com os olhos). A conclusão que estou tentando conduzí-lo a aceitar é a de que a derivada do seno parece ser uma translação do seno. Eu vou provar que é, mas você já pode observar que "parece que é".

Esta é uma das características da forma como você está estudando Cálculo aqui, estou usando métodos experimentais na disciplina, estamos rodando programas de computador, como é o caso de exer04_02*.gnuplot, para descobrir como pode ser um determinado resultado, antes de fazer uma demonstração formal do mesmo.

Se você continuar rodando o programa exer04_02_04.gnuplot , quando "rho=0.01" você terá a melhor aproximação da derivada que o programa faz, experimente com o ratinho o ponto em que a derivada aproximada se anula, o próximo do ponto zero onde a função seno se anula. Você deve ver o número -1.68053 (ou um valor próximo deste) aparecer no canto inferior direito do terminal do gnuplot (rodando Linux, com certeza...). Este valor é aproximadamente "- pi/2" e a conclusão que desejo que você aceite é que você está vendo a translação y = sin(x+pi/2).

Você pode verificar a "verisimilitude" desta afirmação se você fizer o seguinte:

  1. acrescente no programa as definições
    1. pi = 4*atan(1); ## valor aproximado para pi usando a função atan()
    2. g1(x) = sin(x + pi/4) ## translação de -pi/4 do seno
    3. g2(x) = cos(x);

      Isto deve ser feito logo antes do primeiro módulo em aparece o primeiro valor de rho= 0.5.

      Observo que em versão anterior do programa eu estava usando a variável "delta" para diferença em OX. Alterei para "rho" afim de garantir uma linguagem mais adequada - estou usando "rho" de forma sistemática, sempre que trabalho com o operador quociente.
  2. Acrescente dentro do comando plot "g1(x), g2(x)" (observe, sem aspas...).
  3. Retire do comando plot a função diferença "D_g(x)" para que o gráfico fique menos confuso, apareça apenas aquilo que agora interessa.

O resultado disto é o programa exer04_02_04b.gnuplot que já se encontra também no link "programas" da página. Observe que é interessante que você tente fazer estas modificações você mesmo, leia o programa exer04_02_04b.gnuplot apenas se você precisar de verificar a correção do seu programa, mas tente você mesmo fazer isto.

A conclusão é que (sen(x))´ parece ser cos(x). Devemos provar isto!