A aula desta semana - Os números reais

A lista de exercícios desta semana trata dos números.
Os números são objetos com que as funções vão operar e se entendermos bem as suas propriedades poderemos usar melhor as funções. O objetivo desta lista consiste em fazer com que você entenda que os números tem uma estrutura. Isto é bem parecido com o que você vai encontrar em uma linguagem de programação, afinal as linguagens de programação surgiram para modelar com as quantidades os fenômenos da vida real.
Mas Cálculo Diferencial e Integral não é exatamente computação. Nem computação pode descrever exatamente a vida real, a palavra certa é modelar que significa criar uma imagem que se espera seja bem próxima de uma fenômeno da vida real.
Mas há erros neste modelagem, e a nossa preocupação, quando fazemos programas, é a de que estes erros sejam mínimos, mas não que não existam erros.
A Matemática é também uma teoria de modelos, como a ciência da computação, entretanto o ponto de vista é diferente.
Nós os Matemáticos estamos convencidos de que o nosso modelo é perfeito! o problema é que a realidade é imperfeita....
Aqui se encontra uma das grandes dificuldades no aprendizado da Matemática e como matemático, e professor de Matemática, eu quero encontrar uma forma de comunicação com você para mostrar-lhe como funciona este modelo, a Matemática, de modo que você possa fazer um uso satisfatório dele para entender o Universo e em algum momento fazer programas que modelem os eventos do Universo de forma segura e eficiente.
Parte deste processo se encontra em suas mãos, nas suas perguntas.
Quando você me faz uma pergunta você me passa uma informação de como você está vendo a Matemática que lhe estou oferecendo e isto pode me ajudar a corrigir o rumo que eu der à minha comunicação.
Portanto, pergunte, pergunte, pergunte! Se eu manifestar qualquer desconforto com suas perguntas, o problema é meu, e não seu! Perguntar é um direito que você tem! apenas não se esqueça de que "educação" é a forma de disciplinar a comunicação entre as pessoas para que todos possamos viver contentes. Você e eu!
Use o meu e-mail para perguntar quantas vezes você quiser. Mas tente me apresentar uma dificuldade específica para que possa lhe mostrar um exemplo.

Não se esqueça, entretanto, que o conhecimento é adquirido por quem faz um esforço grande para adquirí-lo. Não é com conversa e apenas com perguntas que você irá aprender. Eu aproveito para fazer uma crítica sobre o comportamento de alguns alunos na primeira aula.
Criticar não representa uma tentativa de ferir, e não tenha dúvida me me criticar.
Houve um aluno que me repetiu uma pergunta que eu havia recém respondido. Eu até mesmo observei, disse para ele, que ele não havia prestado atenção à discussão que eu tinha acabado de fazer, e que não era justo repetí-la em forma privada para ele. Mesmo assim repeti.
Observe que isto é um desgaste inútil.
Na próxima aula eu vou dar um exemplo de um programa, vou rodar o programa na aula e depois vou mostrar o código fonte do programa. O objetivo será o de convencê-l@s de que não é possível fazer programas interessantes se você não souber "calcular" e o objetivo desta disciplina e dar-lhe habilidade com cálculos.

Observe o que acabei de dizer: não é o professor que deve ter prática com cálculos, é você!

Prática se obtém, praticando! Não tem outra receita. Você tem que fazer contas para adquirir prática, visão e intuição.
Tem uma pergunta muito difícil de se responder. Não é porque nõs não saibamos a resposta, mas é que difícil transmití-la de forma convincente:
para que serve isto?
é uma pergunta atroz...
Eu não quero lhe transmitir a idéia de que você não deve fazer esta pergunta, pelo contrário, deve mesmo. Mas aceite quando eu lhe disser: pergunte isto novamente mais para a frente! acredite que não estou brincando, às vezes é difícil responder.

Os números

É este o assunto da primeira lista.
Nos interessa a maior parte do tempo os números reais.
Dentro dos números reais se encontram os racionais, os inteiros e os naturais.

Os naturais são os contadores.
Os inteiros não servem para nada (nunca acredite no que eu digo). Mas eles são apenas um passo intermediário na construção dos racionais...
Os racionais são os números que usamos para medir a realidade.
Os reais representam uma realidade contínua típica do pensamento Matemático, na verdade ficamos sempre com os racionais mesmo dizendo que estamos trabalhando com os números reais.

É preciso não cair em certas bobagens científicas que girarm em torno da existência ou não dos números reais. Eles existem sim, é uma construção bonita e funcional, não importa que a realidade física seja deficiente... que o Universo não passe de um aglomerado de núvens de partículas.
Sem os números reais a Matemática deixaria de funcionar, eles são o Universo ideal com que fazemos Matemática, este Universo ideal existe,e a modelagem que fazemos funciona representa uma aproximação do Universo Físico.
Porque é assim?
O universo é um conjunto de nuvens. Nós somos nuvens de átomos e moléculas em maior ou menor concentração. A matéria é uma nuvem de átomos e moléculas. Não existe nada "continuo" como a Matemática faz e pensa.
Um dos instrumentos que vamos precisar para modelar a realidade, a derivada, necessita a hipótese de que a realidade seja contínua, lisa, sem buracos.
Não importa que isto não seja verdade, fazemos a suposição que seja assim, é um erro pequeno que existe entre a "realidade" e o "modelo".
O desenvolvimento científico provou que este método funciona!

O próximo assunto: as funções, a interpretação geométrica da derivada, a necessidade do conceito de continuidade.

Discussão com alguns alun@s

Alguns alun@s, pouquíssimos, me apresentaram questões, perguntas ou dúvidas.
pergunta: fiquei com algumas dúvidas, que mesmo depois de uma pesquisa não fiquei convencido: quanto ao zero nos conjuntos pois os livros abordam o assunto superficialmente, pelo que entendi ele é um caso a parte.
resposta: Sim, é uma questão de convenção se 0 pertence ou não aos Naturais. Para que os Naturais tenham uma estrutura menos falha, é melhor que sim, e desta forma as propriedades A1,A3,A4, M1, M3, M4 são válidas para N.
Então para mim 0 é um número natural.
pergunta: Outra duvida é quanto ao numero racional ser uma dízima periódica, pois considerando infinitas casas decimais fica praticamente igual:
resposta: Veja esta solução: Chegue até minha página, procure o número 11º.
Eu não resolvi completamente a questão, fiz um caso particular que pode ser generalizado para obter o caso geral.
Se alguém quiser escrever o caso geral eu posso publicar a solução isto é um método para atingir a nota 10 na disciplina: escrevendo artigos que publique podem levá-l@ à nota 10.
Não é somente com um artigo, mas depois que você escrever um com certeza escreverá vários outros.