Limite e continuidade

A definição de limite zero

1. Sucessões
2. Sucessões que convergem para zero, são estas que vão definir limite zero.

e você para na aproximação que lhe convier, mas há uma infinidade de números racionais na sucessão e você poderá posteriormente escolher uma aproximação melhor (seguir usando o algoritmo).
O número pi, a constante de Arquimedes é outro número irracional, outra sucessão de números racionais. Parece que há uma sala, em um museu em Paris, em que parte deste número foi escrito rodeando as paredes... mas é apenas mais uma aproximação, um elemento da sucessão de números racionais que representa a constante de Arquimedes e nas paredes se encontra gravado apenas um dos elementos da sucessão!

Aqui no terminal em que estou trabalhando, na minha caixinha Linux, posso digitar "pi" e aparece no terminal este elemento (um elemento) da sucessão de números racionais que representa a constante de Arquimedes:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067

Eu também posso digitar

pi 1000 e o resultado é

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628

6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128

4811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756

4823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372

4587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466

5213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744

6237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494

6395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568

1271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710

5079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721

1349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344

6850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904

2875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119

5909216420198

O mílésimo elemento de uma das sucessões que representa a constante de Arquimedes. Linux é sensacional, eu posso fazer o mesmo que tem na sala do museu em Paris, aqui na tela, mas seria colocar muito dígito no terminal sem grande sentido. E você pode fazer também o mesmo, se quiser.

Você pode arguir: e na máquina de calcular, quando eu aperto "raiz quadrada de dois" aparece apenas 1.4142135623730950488 sem reticências!

É que as máquinas usam aproximações definidas pelo fabricante que você tem que aceitá-las sem discussão, e elas servem para uma variedade muito grande de propósitos.
Então vamos aceitar a idéia de que os números reais são sucessões e que na prática truncamos estas sucessões num ponto conveniente e (outra distorção) tomamos o último elemento calculado da sucessão, como o representante do número que nos interessa.

O zero

que é o resultado que você já conhece.

Observe a cadéia de raciocínios que estamos fazendo:

• zero é um número racional! tomamos esta decisão;
• podemos representar de distintas formas um mesmo número racional, podemos escolher o denominador que quisermos - depois temos que calcular o númerador de forma adequada;
• há uma infinidade de representações para qualquer número racional; esta infinidade de representações não nos aborrece...
• escolhemos uma representação que nos seja conveniente!
• mas a representação não é única, não pode ser e não deve ser! é uma complicação necessária... porque eu preciso somar zero com muitos outros números com distintos denominadores!

Eu vou agora repetir esta idéia relativamente aos números reais, observe que estou usando uma experiência que você já tem para alargar sua experiência. Como os números racionais, os números reais também têm múltipla representação, mas, um número real é uma sucessão de números racionais.

A definição do zero como número real

Sucessões são funções definidas no conjunto dos números naturais (o domínio) e com valores em outro conjunto. As sucessões de que vou tratar são núméricas consequentemente tem os seus valores no conjunto Q dos números racionais. Assim que terminarmos a construção do conjunto dos números reais, vamos alterar esta afirmação e passar a dizer:

As sucessões de que vou tratar são núméricas consequentemente tem os seus valores no conjunto R dos números reais.

Na figura você pode ver (com alguma boa vontade relativamente ao autor) três sucessões que representam o zero. Uma delas e uma sucessão oscilante, seus termos ora são positivos, ora negativos. Outra delas é formada apenas de números racionais negativos e a outra de números racionais positivos.
Aqui você pode ver alguma coisa que já discutimos: o zero é positivo, é negativo e pode ter uma representação que nem é positiva e nem negativa.

Mas eu preciso de fórmulas, de expressões, por exemplo, para incluir num programa de computador em que eu deseje usar o número zero. Ou para demonstrações. Esta linguagem gráfica é insuficiente.

Preciso agora escrever o termo geral de algumas sucessões que representem o zero:

1. s_n= 1/n; uma sucessão de números racionais positivos;
2. t_n= 1/(n²); uma outra sucessao de números racionais positivos que representa o zero;
3. r_n=(-1)ⁿ/n; esta sucessão chama de alternada, ela é formada de números positvos e negativos e representa o zero.

Se você trocar o expoente nos exemplos 2 e 3, acima pode construir uma quantidade muito grande de novos exemplos, todos representando o mesmo número zero. Algumas vezes dizemos que estas sucessões pertencem à classe do zero.

Todas as três sucessões que construimos neste exemplo tem uma coisa em comum, elas se aproximam do eixo OX que é o eixo das alturas (abcissas) zero. Mas elas podem se aproximar por cima (positivas) por baixo (negativas) ou assumir valores ora positivos ora negativos.

Um exemplo de oscilação?

O pêndulo, na face da Terra, tende a parar. Devido ao atrito ele perde energia e para. Se você medir a distãncia para o ponto médio das oscilações (onde ele vai ficar parado) ora você tem que medir com um número positivo, ora com um número negativo. O resultado será uma sucessão que representa o zero, oscilando em torno do eixo OX. No eixo OX se encontra a sucessão constante zero que representa a posição de pêndulo quando ele já não estiver em movimento. Quer dizer que as medidas que você tomou representam um número real que oscila em torno do valor final - as medições quando o pêndulo estiver parado - o zero.

A definição de limite zero

Todas as sucessões, do exemplo acima, entram na faixa |y| < 1 que se encontra delimitada por duas retas paralelas ao eixo OX. A reta y = 1 e a reta y = -1.
Esta observação é insuficiente, se uma sucessão representar o zero, poderemos escolher qualquer faixa em torno do eixo OX e ela entrará nesta faixa. Vou usar um instrumento que os torneiros mecânicos usam, o paquímetro,

que serve aos meus propósitos aqui.

Eu vou colocar um paquímetro marcando uma certa abertura rho em volta do eixo OX.

A abertura rho é arbitrária, quer dizer, posso considerá-la tão pequena quanto eu desejar, é a aproximação a ser escolhida como for conveniente.

Esta é uma das frases que é difícil compreendermos! O arbitrário aqui significa que você pode escolher dependo dos propósitos que você tem, (como no caso da soma de frações, escolhi o denominador quatro por uma razão que alí era evidente, eu posso fazer uma escolha arbitrária do denominador). Aqui desejo expressar que a sucessão que representa o zero tem termos arbitrariamente pequenos. Eu posso escolher pequenas aberturas para o paquĩmetro e com isto escolher a partir de que índice N todos os termos da sucessão se adaptam àquela abertura.
Lembre-se, você parou o cálculo da raiz quadrado de dois quando lhe foi conveniente! Somos nós que escolhemos o ponto de parada do algoritmo, quando a precisão que desejamos for atingida.

Na figura aparece a letra grega epsilon, em vez de rho. Usamos uma destas três letras gregas para representar quantidade pequenas, episilon, rho, delta.

Entrar dentro de uma faixa de largura arbitrariamente pequena significa ter módulo arbitrariamente pequeno. Chegamos à definição de sucessão com limite zero (que representa o zero):

Dizemos que a sucessão s tem limite zero, ou que o limite da sucessão s é zero.

Uma sucessão que tem limite zero é a sucessão constante formada pelo número racional zero.

As sucessões constantes de números racionais são a representação dos números racionais no conjunto dos números reais. Desta forma o conjunto Q dos números racionais é um subconjunto do conjunto R dos números reais.

Definição de limite

para um ponto adequado da reta vertical. Por exemplo, a raiz quadrada de dois

A raíz quadrada de dois tem um "algoritmo" geométrico e dá a impressão de que pode ser vista de forma diferente. Parece que não é uma sucessão? não é bem assim! queremos números para servir de entrada de dados num programa e eu não posso usar compasso e régua para operar com computadores. Posso usar este algoritmo geométrico (bem limitado...) para obter a sucessão

e finalmente escolher uma aproximação, uma sucessão, parando no item da sucessão que for adequado para a aplicação que se tenha em vista.

Aqui você pode ver que existe uma questão de decisão, de escolha, isto dá ao trabalho científico uma característica de pessoalidade que não é exata. Compare com o cálculo que fiz há pouco

em que escolhi uma representação do zero como número racional com denominador quatro. Não houve nada pessoal nesta escolha, ela foi feita por razões técnicas - a outra fração tinha denominador quatro.

Agora tenho que deslocar, também, a desigualdade que define limite:

Definição: Uma sucessão s = (s_n)_n representa um número real a se qualquer que seja rho, existe um índice n a partir do qual todos os termos da sucessão ficam arbitrariamente próximos de $$a

Dizemos

• a sucessão s tem limite a ,
• ou que o limite da sucessão s é a.

Porém é assim que você vai encontrar na maioria dos livros de Cálculo. A maneira correta de fazer seria definir instrínsecamente as sucessões que tem limite.

Classificar as sucessões em duas grandes classes:

1. As sucessões divergentes - sinônimo para sucessões que não convergem.
2. As "sucessões de Cauchy" e dizer que os números reais é o conjunto de todas as sucessões de Cauchy.
   

A primeira classe a gente define por exclusão... Definimos as "sucessões de Cauchy" e serão sucessões divergente a que não tiverem a propriedade de Cauchy. e dizer que os números reais é o conjunto de todas as sucessões de Cauchy.

As sucessões de Cauchy tem um freio interno que as torna converngentes, eis a definção:

As sucessões de Cauchy são as sucessões convergentes!

Exemplos que calculamos em aula: (os fáceis....)

A sucessão n/(n+1) é de Cauchy, portanto é convergente, como já sabiamos.

Tem uma importância prática considerável o teste de Cauchy:

1. Ele prova que uma sucessão é convergente (pode ser difícil fazer esta prova....)
2. Sabendo que uma sucessão é de Cauchy, qualquer termos com índice "grande" é um valor

   aproximado para o limite. Podemos não conhecer o limite exatamente, mas podemos logo

   saber um valor aproximado, escolhendo um valor grande para o índice.

Usando o exemplo anterior, eu posso fazer estes cálculos (com calc)

; define f(x) {return x/(x+1);}

f(x) defined

; print f(200000)

0.99999500002499987500

então 0.99999500002499987500 é um valor aproximado para este limite que nós já sabemos que 1.

Função contínua

1. calculamos lim s_n que é o número real a e depois calculamos f(a), dizemos que calculamos o valor de f no ponto a
2. calculamos f(s_n) = y_n = f(s_n) e depois calculamos o limite desta nova sucessão y_n.

1. Primeira sentença: Calculamos o limite, a, aplicamos f no ponto a , resultado:
   a² = f(a).
2. Segunda sentença: aplicamos f e depois calculamos o limite.
   y_n = f(s_n) = (s_n)² é o quadrado dos termos de uma sucessão que converge para o número real a e seria um absurdo não esperar que esta sucessão não convergisse para a ² = f(a).
   Concluimos assim que lim f(s_n) = a² = f(a)

Polinômios são contínuos

• A multiplicação por uma constante é uma função contínua
• Um método para deduzir a verdade a partir de uma sucessão de verdades - indução finita.

A multiplicação por uma constante é contínua

Indução finita

Sinal

• Translação de um sinal
• Adição de sinais

Um exemplo de função não contínua

1. A parte da sucessão, a subsucessão, formada pelos termos que forem menores do que ½ quando aplicarmos a função s , resultam no número zero, uma subsucessão constante formada de zero.
2. A parte da sucessão, a subsucessão, formada pelos termos que forem maiores do que ½ quando aplicarmos a função s , resultam no número um, uma subsucessão constante formada de 1.
3. Quando o limite existir (lembre-se, o limite é um número real) ele tem que ser único.
   Agora temos duas possibilidades de limite: 0,1.
   Conclusão:
   • não tem limite,
   • a função s destroi, (não preserva a convergncia),
   • ela é descontínua.