Aplicações da derivada e da integral

Palavras chave: derivada, desenvolvimento limitado, funções ortogonais, média, média integral, polinômio de Taylor, programação, soma de Riemann, teorema fundamental do Cálculo, valor aproximado da integral,

eu mesmo

Estamos terminando

Vou tratar de um último assunto a guisa de despedida do semestre em Cálculo I e vou aproveitar para sugerir que você não cruze os braços durante as férias inteiramente, é uma questão de "valor médio" - somente tem sentido aquilo que a gente faz sempre! Logo abaixo você vai encontrar uma sugestão de aprofundamento de Geometria Analítica (Vetorial) ou Álgebra Linear pensando no que será necessário para Cálculo II e outras disciplinas como Física ou Computação Gráfica. Ou simplesmente manter o pensamento, o sistema lógico-matemático, pronto para atuar.

Aproximação de funções

Há dois métodos clássicos de aproximação de função. Um deles nós já vimos, os polinômios de Taylor e inclusive mostramos que eles são importantes para "algebrisar" as funções geométricas seno e coseno.
Neste momento vou chamar sua atenção de outro que será estudado mais a fundo em Cálculo II. Eu vou agora apenas mostrar que existe alguma coisa nesta direção e deixar um programa que você poderá rodar para espicaçar sua curiosidade a respeito, uma vez que não haverá tempo para ir à fundo nesta questão.
Também estou fazendo isto porque infelizmente estamos perdendo nível a medida que o tempo passa, o que se fazia antes já não se faz mais hoje e isto representa um decréssimo em capacidade tecnológica. Estou tentando recuperar (trazer para o Cálculo) o que se conhece que é muita coisa.
Um dos fundamentos deste "novo sistema" são os métodos da Álgebra Linear que você deve já ter estudado em Geometria Analítica (Vetorial): produto escalar, vetores básicos. Se estes conceitos lhe forem extranhos seria bom que você se debruçasse sobre um livro de Geometria Analítica (Vetorial) para completar os seus conhecimentos, do contrário você vai sentir a falta em Cálculo II. Quer dizer que eu estou lhe mostrando o final da disciplina, Cálculo I e elhe dizendo, nesta despedida, o que você vai precisar em Cálculo II.

Funções ortogonais

Estou me baseando na lista de exercícios 14.
A primeira questão explora uma propriedade comum ao seno e ao coseno, que é o título desta seção, funções ortogonais. Sugiro que você leia alguma coisa sobre "séries de Fourier" para ver que o assunto tem o que ver com as propriedades destas funções. As séries de Fourier você deve estudar em Cálculo II e pode até mesmo visitar a página do Cálculo II para se motivar para esta questão.
Mas o melhor mesmo é procurar por esta palavra chave na Internet.
Entretanto, não se assuste com uma grande quantidade de informações que você pode encontrar, não é este o objetivo, intimidá-l@. O objetivo é mostrar que em algum momento será importante estudar um assunto que envolve senos e cosenos como funções básicas e que a questão 01 está lhe abrindo o caminho do futuro neste sentido.
Para falar em vetores ortonormais preciso de dois métodos (tem o que ver com programação OO? claro que tem...).

cálculo do módulo de um vetor;
cálculo do ângulo entre vetores;

Estes dois métodos podem ser atingidos com uma operação básica, o produto escalar e eu modifiquei a lista 14 acrescentando uma questão no começo sobre esta operação. Vou levar cópias da lista para substituir a que você já possa ter impresso.
O produto escalar entre vetores de baixa dimensão é feito calculando a soma do produto das coordenadas de mesma ordem:
< u , v > = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
para dois vetores do R³.
Mas vetores são funções! levante esta discussão em aula!
E funções são vetores! Nem sempre temos o objetivo de ver funções como vetores e algumas vezes pode ser muito complicado vê-las assim.
Digamos que as funções do Cálculo são vetores!
Ora, uma forma de discutir (calcular) a dimensão é vericando a quantidade de coordenadas, é porisso que eu afirmei que os vetores u,v, no cálculo acima, são do R³.
E quantas coordenadas teria uma função como f(x) = x² definida no intervalo [-3,3] ?
Mudaria se ela estivesse definida no intervalo [-20,20] ?
Esta questão da "quantidade" é uma das mais interessantes da Matemática moderna, há um salto entre "quantidade" quando estivermos discutindo conjuntos finitos e quantidade quando passarmos a discutir conjuntos não finitos. E uma teoria para tratar deste assunto, a cardinalidade que é meio irresponsavelmente mencionada em certos livros de Matemática para o Ensino Fundamental - não caberia aparecer! Mas para você se justifica se introduzir a esta questão e sugiro que leia algumas páginas na Internet sobre o assunto, está mesmo na época.
Não cabe falar em quantidade elementos dos intervalos [-3,3] ou [-20,20] mas posso dizer que eles tem a mesma cardinalidade. É este conceito que vai conduzir à dimensão dos espaços de funções, são espaços de dimensão infinita.
Consequentemente não posso mais somar as coordenadas para calcular o produto escalar como fiz com
< u , v > = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
para dois vetores do R³.
A saída é calcular uma integral que de certa forma generaliza, usando limite, as somas. Lembre-se, definimos as integrais usando somas de Riemann, na verdade usando amostragens dos valores de f no intervalo e associando a um limite - este limite é o valor da integral, se ele existir, (quando a função for integrável).
Então, se duas funções f,g forem integráveis num intervalo [a,b] defino o produto escalar entre elas com uma integral:

Na segunda questão da lista (na nova versão) estou explorando o produto escalar integral para mostrar que existe uma infinidade de vetores perpendiculares entre si num espaço de funções. Nada extranho uma vez que estamos lidando com um espaço de dimensão infinita, é o espaço onde se encontram as ondas eletromagnéticas que é tão amplo que podemos usá-lo para fazer a quantidade enorme de comunicações que estamos fazendo hoje, cada um segue por ao longo de uma dimensão deste espaço para os 10 bilhões de seres que habitam o nosso planeta (aqueles que podem fazer comunicaçõe, porque há muitos que não tem acesso a elas.)

Equações diferenciais

A última questão lhe mostra um novo tipo de equação, uma equação diferencial. Você poderá encontrar em sua graduação uma disciplina dedicada a este tipo de equações, eu vou apenas abrir o caminho para o futuro.
É um dos assuntos mais vibrantes da Matemática, o tempo, (sim, se vai chover ou não) é uma solução (que não conhecemos) de uma equação diferencial. Quem sabe equações diferernciais sabe que o aquecimento global não é uma brincadeira!
Mas tudo que estou lhe apresentando na questão 04 é um exemplo de equação diferencial e da forma fácil de trabalhar com elas: verificar se algumas ondas eletromagnéticas são soluções da equação!
É este é o ponto, as equações diferenciais, entre outras coisas, servem para encontrar ondas eletromagnéticas que tenha uma determina propriedade - descritas pela equação diferencial.
Você não vai aprender, ainda, equação diferencial nesta lista 14, mas vai ficar sabendo que elas existem e ver que algumas funções são soluções de uma delas.
Queria terminar como comecei este texto, lhe pedindo que durante o recesso de um arremate em alguns assuntos que você deveria dominar com os olhos fechados, alguns dos exercícios de Cálculo I - se você não tiver usado um livro qualquer que haja na bilioteca para fazer "todos os exercícios", faça agora. Pegue também um livro de Geometria Analítica Vetorial e faça todos os exercícios. Vamos precisar disto quando nos encontramos em Cálculo II.