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Palavras chave: teorema de Rolle, valor médio para derivada, valor médio de funções contínuas.

eu mesmo

Função contínua e valor médio

Se uma função assumir f os valores extremos, $m$ (mínimo) e $M$ (máximo), sendo contínua assume todos os valores intermediários. Em outras palavras:
  1. y0 está no intervalo [m,M];
  2. f é uma função contínua no intervalo [a,b] tendo assumindo estes valores m,M;
  3. então existe c no intervalo [a,b] tal que f(c) = y0;
    A equação
    f(x) = y0
    tem sempre uma solução (pelo menos uma).
Algumas vezes costumamos caracterizar esta propriedade dizendo que f não dá saltos quando for uma função contínua.
O exercício 01 da lista 13 lhe dá exemplos de funções descontínuas e do significado do salto. Continuidade e descontinuidade
A definição de salto e uma definição de continuidade.
Limite superior, inferior e continuidade Continuidade é um conceito difícil, não podemos esconder que os conceitos sejam difíceis, mas temos que sublinhar que dificuldade não é próprio de gênios (se é que tais figuras existem...). Dificuldades são situações que exigem mais energia e trabalho para serem superadas ou absorvidas como é o caso de alguns conceitos.
A continuidade é difícil porque que ela parece ser uma conceituação inexistente na prática. Todas as funções com as quais você inicialmente lida, são algébricas (eu costumo dizer que seno é algébrica o que é um erro, procure ver a definição de função algébrica para se convencer que estou errado!). As funções com lidamos no início são todas definidas por operações algébrico-geométricas que se encontram baseadas no princípio de Lavoisier - a natureza não dá saltos. Hoje sabemos que a natureza dá saltos, porém quânticos.
Isto cria dificuldades para produzir exemplos de funções não contínuas de modo natural. O primeiro exemplo inteiramente natural é a derivada da função módulo que aparece em um dos exercícios da lista 13.
Quer dizer, precisei de chegar ao conceito de derivada para produzir um exemplo simples de função descontínua.
Isto parece ser uma tremenda incoerência, uma vez que somente as funções contínuas é que tem derivadas (depois você vai ver que isto é falso...) derivadas no sentido de haver um objeto linear tangente.
Logo, o conceito de continuidade deve preceder o estudo da derivada! eu passei voando pelo conceito de continuidade, desprezei-o de fato, e passei para a derivada.
Agora é possivel fazer um retorno e compreender melhor o que é uma função descontínua, até mesmo porque temos o conceito de valor médio integral para nos ajudar.

O significado do valor médio

Você conhece o valor médio desde o Ensino Médio (ou Fundamental) quando estudou a área de trapésio: o valor médio e a área O caso da área de funções do primeiro grau, como já vimos em aula, segue o exemplo do trapésio. Agora com a definição do valor médio integral podemos ver que o valor médio da função volta a entrar em cena para o cálculo da integral. Com o conceito de valor médio podemos calcular a integral, desde que a função seja integrável, como é o caso da Heaviside que "não passa em seus valores médios" porque salta de zero para um.
Ou ainda no caso da derivada do módulo que nem mesmo existe no ponto zero.
Neste último caso temos pouco uso para o valor médio, entretanto!
Como podemos calcular o valor médio então podemos calcular integrais, aproximadamente, sem usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Isto vai ser importante quando chegarem as aplicações. Mas também o valor médio está associado com as somas de Riemann (não o valor médio integral!). integral e valor médio integral
Enfim, valor médio é um conceito importante uma vez que ele substitui o valor "exato" com razoável precisão.

O valor médio da derivada

Observei que posso calcular o valor médio da derivada da função módulo, mas que não vou ter nenhuma utilidade prática para este valor médio.
A razão desta inutilidade é visível! eu uso a derivada para calcular retas tangentes, e não poderia fazer nenhum uso de uma reta tangente neste caso, do módulo.
Esta situação sugere que, em se tratando do valor médio da derivada, nos preocupemos com a existência de saltos na função.
Ou ainda, somente me interessa o valor médio da derivada se a função for contínua. O seguinte gráfico lhe mostra onde quero chegar:
Valor médio da derivada
Eu não posso fazer um gráfico semelhante a este com a Heaviside! Simplesmente não teria sentido!
Neste último gráfico existem dois pontos interiores ao intervalo [a,b] onde a derivada tem o mesmo valor do coeficiente angular da reta secante.
Observe que estou fazendo uso intenso do significado da derivada como coeficiente angular da reta tangente. Deixe-me considerar outro gráfico mais simples para conduzir um raciocínio que me vai levar direto à existência de um ponto c no interior do intervalao onde a derivada será igual ao da reta secante.
o ponto c que dá o valor da derivada
Se a derivada no ponto x=a for maior do que a derivada no ponto x = b (como é o caso da figura acima, então, pelo valor médio (agora aplicado à função derivada f') tem um ponto c no intervalo [a,b] tal que f'(c) está entre f'(a) e f'(b). Mas como a função f´ é contínua, preciso desta hipótese, então, para qualquer valor M entre f'(a) e f'(b) existe um valor para f´ quer dizer que existe c tal que f´(c) = M = (f(b) - f(a))/(b-a).
Cheguei ao resultado com a hipótese "a derivada no ponto x=a é maior do que a derivada no ponto x = b" basta agora reverter a hipótese e temos a outra parte da demonstração uma vez uma das duas tem que ser verdadeira.
Observe que preciso que a derivada seja contínua, este teorema não vale para Heaviside e nem para a derivada do módulo!
O conceito de continuidade é importante embora ele somente apareça (seja necessário) em situações teóricas. Você verá que em estudos mais avançados de Matemática que usamos frequentemente a continuidade, mas que ela parece ser um atropelo inicialmente (porque praticamente todas as funções são contínuas...e a Natureza parecia ser contínua para Lavoisier também).
f´(c) = (f(b) - f(a))(b-a)
Este é o teorema de valor médio para derivadas. Um caso particular deste teorema é aquele em que f(b) = f(a), então a reta secante é parelala ao eixo OX e tem coeficiente angular nulo:
f´(c) = (f(b) - f(a))(b-a) = 0
que recebe o nome de Teorema de Rolle É interessante dar-lhe uma redação própria:

Teorema de Rolle

Se f for uma função derivável, e a derivada for contínua, e se f(b) = f(a) então existe um ponto c no intervalo [a,b] tal que f´(c) = 0 .