Fórmula de Taylor, e fórmula de Euler

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aceleração, continuidade, derivada, Fórmula de Taylor, gráficos, limite, velocidade. Palavras chave:

eu mesmo

A fórmula de Taylor

Esta fórmula generaliza a equação da reta tangente
P(x) = f(a) + f'(a)(x-a)
é a equação de um polinômio do primeiro grau que aproxima y = f(x)

o gráfico deste polinômio passa no ponto (a,f(a));
e passa tangencialmente ao gráfico de y = f(x) neste ponto.

O meu objetivo agora é descobri a expressão (fórmula) de um polinômio do grau n que passe o mais ajustado possível ao gráfico de y = f(x) no ponto (a,f(a)).
Quer dizer, desejo que as condições seguintes sejam satisfeitas:

Um polinômio de grau n;
que passe no ponto (a,f(a));
que passe tangente ao gráfico de y = f(x) neste ponto, P'(a) = f'(a);
que a derivada segunda do polinômio coincida com derivada segunda de f, ou seja P''(a) = f''(a). Esta coincidência significa que a curvatura dos dois gráficos é a mesma neste ponto;
enfim, que todas as derivadas, até uma certa ordem, coincidam com as derivadas de f, apenas não temos mais denominações geométricas para estas coincidências.

É preciso que a função f tenha derivadas de ordem elevada para que possamos escrever o polinômio de Taylor de grau n, com a potência n grande.

Um polinômio do segundo grau tangente e com mesma curvatura

Quero um polinômio
P(x) = a₀ + a₁(x-a) + a₂(x-a)²
cujo gráfico passe no ponto (a,f(a))

Para que aproximar com um polinômio ?

Uma das perguntas que você deve estar se fazendo é:
Para que procurar uma aproximação polinomial para y = f(x) se conhecemos tantas informações sobre esta função? conhecemos suas derivadas até a ordem n...
Há algumas justificativas para isto, uma delas é que existem funções sobre as quais sabemos muito, porém apenas em alguns pontos, como seno, coseno.
Sabemos tudo sobre seno no ponto zero... e você vai ver que isto é o suficiente para que, usando a fórmula de Taylor quando a = 0 possamos calcular com seno com grande precisão, por exemplo é isto que as calculadoras fazem.