eu mesmoAlém da integral das funções polinomiais


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Transformações nas integrais

Nesta lista vamos avançar nos conhecimentos de integração para obter algumas fórmulas ligadas às regras de derivação. Vou começar com a figura abaixo de funções cujas integrais posso calcular facilmente usando apenas geometria

triangulos homeomorfos

Este gráfico foi obtido com gnuplot com os comandos

f(x)=(x<=-3)?0:(x<=0)?(x+3):(x<=3)?(3-x):0

que define uma função linear por pedaços (é o triângulo de menor altura no gráfico)

plot f(x),2*f(2*x), 3*f(3*x),4*f(4*x);

em que obtive os gráficos das novas funções O comando set terminal png enhanced faz com que a saída de dados do gnuplot seja dirigida para um arquivo que selecionei com o comando set output "textos/exer09/exer09_01.png" antes de executar plot f(x),2*f(2*x), 3*f(3*x),4*f(4*x);

A função y = f(x) é um sinal (se anula fora do intervalo [-3,3]) e este tipo de função é excelente para que fazer alguns experimentos, como este que você vê na figura: 4 funções que têm a mesma integral.

Observe que em todos os casos temos:

fi(x) = f( h(x)) h'(x)

em que você pode ver a regra da cadéia da derivação sendo invocada. Deixe-me lhe mostrar logo um gráfico muito mais intrigante, mas é exatamente semelhante ao que você vê acima.

senoides homeomorfas

eu fiz exatamente o mesmo que anteriormente, apenas troquei o "sinal" estou usando f(x)=sin(x):

f(x) = sin(x)

set xrange [-5:5]

plot f(x),2*f(2*x), 3*f(3*x),4*f(4*x),0;

mas agora eu não posso dizer que estas funções tem todas as mesmas integrais de forma tão livre como disse no outro caso. Vou limpar um pouco o gráfico para obter um que nos permita num olhar deduzir o teorema.

senoides homemorfas

e afirmação que posso fazer agora é que "qualquer das bolhas" tem a mesma área. Observe a diferença na linguagem, uma bolha começa em um determinado ponto e termina também em ponto determinado - quer dizer tenho que levar em conta os limites de integração! Vou fazer as contas,

seno acelerado

e se confirmou o resultado que eu havia obtido com o sinal linear por pedaços, apenas agora tenho que ter cuidado com os limites de integração mas observe que eles podem ser obtidos automáticamente aplicando a regra da cadéia adaptada ao cálculo das integrais. Deixe-me escrever a regra da cadéia

regra da cadéia

Comparando com o primeiro exemplo, podemos expressar tudo numa linguagem mais simples.

Como aceleramos a função - os coeficientes 2, 3, 4 no primeiro exemplo são chamados de "velocidade angular" devido ao seu uso em Mecânica, então ao calcularmos a integral da função acelerada tivemos que "freiar" na base da integral.

Quer dizer, dentro da função apliquei a velocidade f - olhe a a equação (2) - e no cálculo dos limites de integração apliquei a velocidade inversa f 1 para produzir o equilíbrio necessário e assim obter a mesma área.

Em linguagem técnica dizemos que foi feita uma mudança de variável na integral. Eu prefiro dizer reparametrização da integral mas não é aconselhável alterar a terminologia pelas razões sempre referidas de manter uma linguagem que todo mundo entenda. Não gosto da expressão "mudança de variável" porque não existe nenhuma variável no integrando apesar de que as contas que fazemos sugiram o contrário...

Vou escrever o sistema de equações (2) num formato que é o habitual, como você vai encontrar na maioria dos textos.

mudança de variáveis

É a primeira equação, no bloco de equações (3) que você vai encontrar referenciada como a fórmula da mudança de variáveis na integral. Ela nada mais é do que a regra da cadéia.

Em Cálculo Multivariado esta fórmula vai assumir uma importância muito grande devido as transformações que podemos fazer entre figuras no espaço. A penúltima equação, do bloco (2) de equações, é que será a equação prática.

Se costuma registrar a mudança de variáveis como um método de integração e a lista 09 está explorando esta transformação