A integral

eu mesmo


Palavras chave:   integral, visão geométrica da integral, somas de Riemann, Teorema Fundamental do Cálculo, cálculo aproximado da integral, a exaustão de Arquimedes.

Vou começar o estudo da integral usando um ponto de vista geométrico - a integral é uma área algébrica limitada pelo gráfico da uma função e o eixo OX. Logo vou formular um método para aproximação da integral nos casos em que não sabemos calcular - seguindo os passos de Arquimedes, o grego, que para calcular volumes de objetos geométricos curvos, pensou no método da exaustão - exaurindo o volume com auxílio de volumes conhecidos para ele, cubos por exemplo. Eu vou exaurir a integral com retângulos o que me vai conduzir a discutir um tipo de soma - soma de Riemann. Para isto vou precisar de algumas fórmulas de indução de que já falei em algumas lista atrás, por exemplo

indução

Mas o primeiro no passo será o cálculo da integral de funções do primeiro grau ou funções constantes. Vou demonstrar um teorema geométrico (uma idéia geométrica que vou transformar num teorema).

A integral de uma função do primeiro grau se calcula com a regra do trapésio.

integral de função do primeiro grau

A hipótese (8), que f(a), f(b) têm sinais contrários corresponde à figura. Preciso da raíz de f neste intervalo [a,b] que é o ponto c o que me fez incluir a hipótese (9) f(c) = 0. Também preciso nas contas da expressão algébrica de f que está na hipótese (7) f(x) = mx + p.

A estratégia será mostrar que os dois valores que temos para esta integral coíncidem que está expresso na equação 22 abaixo, em que T representa a fórmula de cálculo da área do trapésio na equação (14), enquanto que o valor da integral, como soma algébrica das áreas dos dois triângulos I, J que aparecem na figura está expressa na equação (10) - a integral é a soma das áreas algébricas (tem sinais diferentes) do triângulo I e do triângulo J. A base, nos dois casos é positiva, b-c > 0 e b-a > 0 o que caracteriza que estas áreas tem sinais contrários são as alturas: f(a) < 0 < f(b)

a demontração do teorema

Com isto sabemos calcular a integral de qualquer função do primeiro grau.

A lista número 08

A primeira questão lida com integrais de funções polinômiais.

A segunda questão trata da integral de f(x) = x**2 que já não sabemos mais calcular! a única solução, neste momento, é calcular aproximadamente. Um gráfico fala mais do que mil palavras, dizem!

exaustãoEste gráfico ilustra a idéia de Arquimedes que ele chamou de "exaustão" e aplicou ao cálculo de volumes de objetos que não sabia como calcular o volume. Aqui estou usando para "calcular" área. Vou exaurir a área com retângulos, quer dizer, vou colocar pequenos retângulos dentro desta região para obter um valor aproximado para esta área. É verdade que vou obter o resultado com um "erro" e aqui cabe duas observações sobre "erro"!

  1. Dificilmente você vai conseguir fazer alguma coisa, fazer um cálculo, exatamente, geralmente não há meios para cálculo exato. Eu gosto usar o exemplo da rota de um avião, destes que usam um piloto automático - um computador para calcular a rota e "corrigir" o vôo. É, corrigir foi uma palavra bem escolhida! A cada instante, durante o vôo o avião sai da rota devido às forças das correntes de vento que ele vai encontrando. Quer dizer que a rota prevista para o vôo nada tem a ver com a rota real! A rota prevista para o vôo era uma aproximação da rota que o avião finalmente iria percorrer! Você ainda me vai ver falar diversas vezes deste exemplo, mas também poderia ser o caso da colocação de módulo na estação espacial internacional - é uma rota que vai sendo corrigida segundo a segundo, como no caso do avião.
  2. O mais interessante, nesta segunda observação: a partir da aproximação eu vou conseguir uma fórmula para o "cálculo exato"! Ainda na lista 08, você vai ver isto! É o poder do processo de aproximação. Primeiro perdemos o preconceito contra aproximação - porque dificilmente conseguiremos fazer alguma coisa exatamente. Depois, trabalhando com aproximações, podemos conseguir um método formal para o cálculo exato.

Mas o método de Arquimedes serviu apenas para que construissemos um método melhor o que foi feito quase dois mil anos depois que ele pensou no assunto, pelos Matemáticos do século 19. O próximo gráfico mostra uma pequena melhora no método de Arquimes que foi fundamental para nos liberamos de certas dificuldades que o seu método continha.

melhorando a exaustão

Vamos ler a figura!

A diferença entre esta e a anterior está em que alguns dos retãngulos saem fora da área que desejamos calcular - extrapolam! Parece pouca coisas mas você vai ver que este pequeno detalhe é que vai me permitir a construção de um programa bem simples para calcular esta área, aproximadamente, porém com um nível de aproximação muito grande - afinal programas de computação não se cansam ao fazer contas e nós, humanos sim. Este gráfico foi feito á mão (claro, com auxílio de um programa - xfig, o programa que uso para fazer a maioria dos gráficos para representar idéias matemáticas, quando faço os gráficos manualmente).

Mas posso logo lhe mostrar este gráfico feito com um programa escrito em calc que produz um script para o gnuplot que finalmente montou o gráfico para nós. Vamos comprar os dois

soma de Riemann passo 0.1Neste gráfico você pode ver uma parábola com á área (integral) calculada sobre o intervalo [0,1].

Usei o a "melhora" de que falei acima para a exaustão de Arquimedes.

Você pode ver na figura o indicativo "Passo 0.1" deixe-me explicar o que é isto. Agora, em vez de ir colocando retângulos, como fiz na figura anterior, comecei por dividir o intervalo [0,1] em 10 sub-intervalos - cada um deles medindo 0.1 - o passo mencionado. O gráfico não está perfeito! mostra apenas as alturas dos retângulos. O primeiro retângulo tem sua altura no ponto 0 e passa da área desejada um pouco como acontecia com alguns retãngulos na figura anterior. Agora "todos os retângulos" passam da área desejada (em valor absoluto). Como área desejada é negativa, desta vez estou calculando uma área menor (maior em valor absoluto). Mas deixe-me lhe mostrar logo o próximo gráfico feito pelo programa:

segundo gráfico da soma de Riemann

Você já deve ter visto que neste gráfico o passo é 0.05. Quer dizer que dividi o intervalo de integração, [0,1] em 20 sub-intervalos cada um medindo 0.05 e portanto, agora, tenho 20 retângulos para obter o cálculo da área aproximadamente.

Resultado, o erro diminue e já mal podemos ver os retângulos (as alturas dos retângulos) no gráfico.

Então a preocupação com erro (por falta! ) neste cálculo se dilue! Vemos que aos poucos - aumentando a quantidade de retângulos, ou melhor, diminuindo a medida dos subintervalos, podemos obter resultados mais precisos (com erro menor).

O próximo gráfico mostra bem isto:

melhora final na soma de Riemann

Agora o passo é 0.01 como você pôde ver indicado. Quer dizer que dividi o intervalo [0.1] em 100 subintervalos cada um deles medindo 0.01 e obtendo assim um valor bem mais próximo para área que me interessa calcular. Ou rodando o programa com n=1.000.000 - (não vale a pena, o tempo de processamento sobe estratosfèricamente! ) Em Cálculo Numérico você vai encontrar métodos mais efetivos para calcular integrais aproximadamente usando um valor para n "insignificante" e conseguindo precisões muito boas (consequentemente com pouco tempo de processamento), apenas os métodos que você vai encontrar depois em Cálculo Numérico dependem, na sua construção teórica, deste que estamos discutindo aqui.

Somas de Riemann

A soma que aparece no item (b) da segunda questão contém a melhoria de que falei acima sobre o método de Arquimedes, somas deste tipo recebem o nome de somas de Riemann, Riemann foi um matemático alemão que conseguiu sintetizar o que se fazia na época para estruturar o que chamamos hoje de Cálculo. Alguns nomes ficaram com a marca do Cálculo, entre eles o de Riemann, mas também Leibniz, Newton, Cauchy. É muito comum se atribuir aos três primeiros a "descoberta do Cálculo", o que é uma terrível injustiça com Arquimedes e possivelmente com muitos outros pesquisadores que se perderam na poeira da história. Estes conseguiram dar um formato mais arrumado ao que conhecemos como Cálculo mas certamente sobre os resultado de muitos outros que tentaram, erraram e cujos nomes ocupam uma galéria menor. São defeitos das denominações e seria inútil tentar reverter isto, basta-me fazer esta observação como um remédio contra esta injustiça, mas vou seguir chamando as somas de "somas de Riemann" até por aquela razão que sempre lembro, temos que escrever dentro dos padrões para que possamos ser lidos e compreendidos pelos outros afim de que ter colaboradores nossos trabalhos. Embora eu não goste muito de padrões, tenho que me ajustar a alguns....para não ser um suicida científico.

Alguns dos meus programas ou se chamam "riemann" ou contém uma função que se chama "riemann()" para calcular somas de Riemann aproximando o valor de integrais.

A questão 03 da lista (é da lista 08 que estou falando...)

A terceira questão usando uma fórmula de indução para o cálculo da somas dos quadrados para conduzí-l@ a descobrir o cálculo exato da integral de f(x) = x**2 no intervalo [0,a]. Com isto descobrimos uma nova função que se encontra associada ao cálculo desta área - uma função primitiva, é o nome que elas tem. Eu costumo escreve os pares de função f e sua primitiva, F com a mesma letra, usando a maíuscula para a primitiva. Ja observei em aula que a função f é a derivada de F:

F ' = f

Nós ainda iremos melhorar esta relação, por enquanto é o que temos!

A questão 04

A quarta questão está abrindo caminho para formular o Teorema Fundamental do Cálculo que associa derivadas e primtivas e permite o cálculo exato das integrais em alguns casos (não, em todos não! somente em alguns casos - mas você verá que ainda assim é util - afinal, esta questão do útil é muito, muito perigosa mesmo conduz até mesmo à poluição ambiental).

A questão 05

Nela chegamos a uma primeira formulação do Teorema Fundamental do Cálculo no caso particular da função que estamos estudando agora: f(x) = x**2.

Teorema Fundamental do Cálculo

Era isto para começar! espero que tê-l@ convencid@ de que vale a pena passar pelos cálculos aproximados e no final da segunda questão da lista você já vai ver um cálculo exato como consequência do cálculo aproximado. O programa que fez estes gráficos é exer08_00.calc que se encontra no link "programas" da página, você pode usá-lo para conseguir seus gráficos e calcular algumas integrais aproximadamente - é uma forma de verificar se você calculou "exatamente" as integrais sem erros!