Uma visão geométrica da integral


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Integral e derivada são as duas ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral. Você poderia perguntar "e onde entra limite? "

Limite não seria também uma das ferramentas do Cálculo? é verdade, limite é uma das ferramentas do Cálculo, a mais fundamental de todas. Defini derivada usando limite, e vou definir a integral usando limite! Embora limite seja a noção mais fundamental, ela também é a mais difícil e a minha atitude é de ir trabalhando com limite na sombra do processo para fazer com que você entenda esta noção com o uso.

Prefiro, desta forma, colocar o foco nas duas noções mais visíveis - derivada e integral - para as quais é relativamente simples criar interpretações geométricas, intuitivas, e mostrar, aos poucos, que preciso de um outra ferramenta para completar a ideia.

Foi como fiz com a derivada.

Vou começar com uma interpretação geométrica da integral. Se você se aprofundar nos seus estudos de Matemática irá ver mais adiante que tem uma forma mais ampla de compreender a integral do que esta que lhe vai ser apresentada aqui, entretanto, esta serve para começar.

integral de função constante

A figura mostra uma função constante f e o intervalo [a,b] relativamente ao qual a área limitada pelo gráfico da função está em destaque. Neste caso é a área de um retângulo que nós sabemos calcular:

notação - integral

porque a área de um retângulo é altura vezes a medida da base. O símbolo da integral possivelmente significa um "S" derivado da palavra "summe" que em alemão significa "soma". A integral, como a entendemos hoje, começou na Alemanha mas ela é basicamente o que Arquimedes pensou, eu voltar mais a frente a falar sobre o que Arquimedes pensou. Também vou explicar melhor porque a integral tem o que ver com "soma".

Então este símbolo significa a área sobre o intervalo [a,b] da função f.

Deixe-me lhe dar um exemplo que irá conduzí-l@ a ampliar as suas concepções

função não constante - integral

Neste novo gráfico a função y = f(x) se anula no ponto x = c. Então f representa um fenômeno negativo no intervalo [a,c] e um fenômeno positivo no intervalo [c,b]. A integral - é uma medida da quantidade do fenômeno descrito pela função e seria razoável considerarmos aqui duas integrais:

integral de uma função não constante

e eu estou sugerindo que a integral sobre o intervalo [a,c] é negativa, enquanto que a integral sobre o intervalo [c,b] é positiva.

Portanto, se eu comecei chamando a área limitada pelo gráfico de uma função e o eixo OX de integral, então este conceito expande o conceito de área contemplando a possibilidade que seja positivo, negativo ou zero.

Costumamos dizer que a integral é uma área algébrica para ficar em bons termos com o que você estudou de geometria no Ensino Médio em que alguém lhe disse que área é uma medida positiva.

É razoável nos perguntarmos se esta expansão do conceito "área" tem alguma relação com a "realidade". Em outras palavras, se isto é um modelo que descreve alguma situação, um fenômeno físico. Eu já usei um círculo - a pedra se movendo sobre um círculo - para falar da derivada. Vou usar novamente um círculo agora para encontrarmos alguma coisa que possa requerer um modelo negativo ou positivo.

Pêndulo

Um dos sentidos do movimento do pêndulo tem que ser considerado positivo - uma convenção! O outro então será negativo. E podemos calcular a quantidade deste movimento, se soubermos qual é a equação da velocidade do pêndulo então a área (integral) será a distância percorrida. Ora, assim que você solta o pêndulo, ele vai e "volta", retorna para sua mão, então a distância total percorrida é zero.

Sei que você vai reclamar dizendo que não é exatamente zero, que o pêndulo não retorna exatamente ao ponto de partida, que houve uma perda de energia entre a ida e a volta devido ao atrito com o ar ou no ponto de sustentação. Vamos supor que nos encontramos no vácuo e que nã há atrito no ponto de sustentação - hipóteses meio absurdas mas que é comum que sejam feitas. Ou olhe para a Terra que é um pêndulo em volta do Sol, ela aparentemente sempre volta ao ponto de partida!

Aparentemente! Ok, vamos retornar ao pêndulo que parece ser uma história mais simples.

Então se soubermos qual é a função que descreve a velocidade do pêndulo, se calcularmos a integral entre os dois instantes, quando você soltou o peso e o pegou de volta, o resultado é zero.

Ainda teremos que retornar a esta questão: por que a integral da velocidade é a área? Mas aceite por um momento que é verdade de que eu possa continuar a teoria.

Embora o pêndulo vá e volte, na verdade nada pode retornar ao ponto inicial! isto simplesmente não existe. O movimento do pêndulo se dá ao longo do tempo portanto ele começou no instante t0 e quando tirei a fotografia que você pode ver na figura, já estamos no instante t1. Portanto estamos discutindo a integral

a inregral do movimento do pêndulo

existe um ponto neste intervalo [t0, t1] em que o movimento do pêndulo atinge o máximo de energia potencial (perdendo todo a sua energia cinética),como diz a Física, e instantanemente ele para no ar quando começa a retornar, se movimento na direção contrária. Uma troca de sinal no sentido do movimento. Teriamos uma situação parecida com aquela da reta que corta o eixo OX no ponto x = c separando o gráfico em dois tipos - aquele que descreve um fenômeno positivo de outro que descreve um fenômeno negativo.

distância percorrido pelo pêndulo

Este gráfico é um modelo razoável para o movimento do pêndulo no intervalo [a,b]. Os pontos c1 e c3 são pontos de máximo (em valor absoluto) da derivada - pontos de máximo da energia cinética numa direção ou na direção contrário, eu tenho que considerar que uma delas é a negativa. O ponto c2 é o ponto de mínimo (em módulo) da energia cinética, é também o ponto de máximo da energia potencial. Nos pontos a, b se tem velocidade zero (energia cinética nula), observe as tangente horizontais, a velocidade é a derivada e este gráfico descreve o movimento do pêndulo. No próximo gráfico desenhei um sistema de dois eixos sincronizados, nele estou repetindo a curva da distância percorrida pelo pêndulo e sincronizadamente a curva da derivada:

distância e velocidade

Algumas propriedades da integral

A integral é uma medida algébrica e ela guarda relação com a orientação do domínio de integração. Como eu já ilustrei no caso do pêndulo, (na figura acima) quando a velocidade for negativa e houver a mesma quantidade movimento (não houver perdas de energia) então a distância total percorrida pelo pêndulo na ida e volta será zero.

O sinal da integral é calculado automáticamente! desde que você não erre nas contas. É preciso apenas ter o cuidado de fazer as contas corretamente. Um dos cuidados consiste em calcular a "medida da base" no domínio de integração então anti-simetria da integral

Em algum momento você vai descobrir que existem integrais em cima de pontos que não são zero... coisa que os físicos forçaram os matemáticos a inventar para se adequar às descobertas de Dirac no início do século passado. Mas isto virá quando você se aprofundar mais em Matemática e Física. Por enquanto vou aderir a uma "verdade" mais conservadora... então quero que a última integral na equação (7) seja zero o me leva a necessitar da equação (4).

Aos poucos você verá que a "verdade" científica é uma "verdade" convencional. Nós criamos uma verdade que faça com que os cálculos funcionem, e o que resulta disto é uma formulação adequada da realidade o que pode nos levar a concluir que a realidade tem uma existência "convencional"... e isto não é exatamente como esperamos ou queremos. Apenas a formulação científica da realidade é uma questão de modelagem porque precisamos enfiar a realidade em computadores! Isto pode dar erros, temos que estar preparados para esta consequência e ter cuidado com os modelos que fizermos.

Notação

Se você abrir qualquer livro de Cálculo vai encontrar na notação de integral o simbolo "dx" que estou momentaneamente evitando porque não tenho uma boa explicação para ele. Eu não estou inventando e nem modificando a notação, há outros autores que evitam inicialmente o "dx" até que possam dar uma explicação adequada, e eu vou fazer o mesmo. Logo voltarei para a notação oficial.

O simbolo de integral e o domínio de integração.

O símbolo da integral associa uma função a um parte do seu domínio com estes dois números indexados, um abaixo (limite inferior) e outro acima (limite superior). Eles recebem estes nomes - limite superior de integração e limite inferior de integração. A palavra limite aqui não tem ligação com o operador limite. Estes dois limites se referem aos extremos do intervalo onde a integral é calculada.

Consequentemente a integral tem uma representação geométrica que está sendo explorada nas questões 1,2 da lista junto com o resultado das integrais como números positivos ou negativos (dependendo da direção em que o cálculo for feito).

Comentando algumas questões da lista 07

A questão 4-c)

exer07_04_c

Do gráfico podemos deduzir, (por semelhança de triângulos) que a integral de y = x+3 é a soma das integrais da função constante, 3, com a integral de y = x.