Limite e continuidade e comportamento assintótico


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O objetivo da lista 06 é o estudo do comportamento do gráfico de uma função nas vizinhanças de alguns pontos chamados críticos e quando |x| é muito grande (comportamento no infinito).

Vou discutir melhor o significado deste estudo usando os exemplos produzidos pelas questões da lista que representa o roteiro do trabalho em aula. Ao final você encontra uma lista de exercícios em que será convidado a fazer gráfico de funções como um método para se exercitar na discussão dos pontos críticos.

A primeira questão

Este tipo de questão é muito comum, uma função definida por várias equações. Como todas as equações são expressões polinomiais, dizemos que f é uma função polinomial por pedaços. Atribuimos um grau a este tipo de função usando o grau mais elevado das expressões polinomiais envolvidas, então f é uma função polinomial por pedaçõs do segundo grau.

 

Notação

Preciso dar nome a alguns elementos.
Para definir a função f, precisei de particionar o domínio, R em sub-intervalos, e a maneira mais simples de fazer isto consiste em selecionar os pontos definindo uma partição de R. Chamos estes pontos denós.
Neste caso os nós são:

  1. os nós: -2, 0, 2
  2. os subintervalos: (-inf , -2], (-2,0], (0,2], (2, +inf)
em que estou usando o símbolo "inf" para representar "infinito" que eu não sei escrever em html (se alguém souber, me ensine).
Há vários estudos que podemos fazer com funções deste tipo:
  1. continuidade: podemos facilmente construir uma função não contínua.
  2. continuidade da derivada: é possível montar uma função que seja derivável mas a derivada não seja contínua.
Vou fazer isto alterando o exemplo da primeira questão. Desta forma você deve adquirir uma visão mais ampla do que a questão lhe pede.

Nesta questão f está definida por quatro expressões, todas elas algébricas que não oferecem qualquer impossibilidade para o cálculo algébrico - definem funções contínuas. Mas em conjunto podem definir uma função não contínua.
Devemos verificar o que acontece nos nós que particionam o domínio
  1. Se o valor de f coincidir à direita e à esquerda, em cada , então f será contínua.
  2. Se o valor à esquerda for diferente do valor á direita, então a função dá um salto no considerado, e é então descontínua neste .
  3. f(-2-) representa o valor de f à esquerda (por valores menores que -2). Este valor deve ser calculado com a equação que vale no intervalo
    (-inf, -2] que é 4 - x**2, então f(-2-) = 0 = 4 - (-2)**2.
  4. f(-2+) representa o valor de f à direita (por valores maiores que -2) e dever ser calculado com a equação que vale no intervalo (-2,0].
    Observe que "tecnicamente" a função não tem valor no ponto -2 usando este intervalo.
    Isto significa que a linguagem a ser usada aqui deveria ser "limite de f no ponto -2 pela direita". Aqui você deve se lembrar que há três tipos de sucessões que definem um número real:
    1. sucessões crescentes - que crescem para o número real desejado.
    2. sucessões decrescentes - que decrescem para o número real desejado.
    3. sucessões oscilantes - que ora são maiores, ora são menores, (oscilam) em volta do número real desejado.
    Aqui você pode ver uma finalidade para estes três tipos de sucessão.
    Eu vou usar agora os dois primeiros tipos de sucessão: Esta é a teoria, na prática não fazemos isto, porque as equações envolvidas definem funções contínuas em cada um dos intervalos. Deixe-me dar nomes às estas equações;
    1. f1(x) = 4 - x**2 no intervalo (-inf, -2]
    2. f2(x) = 4(x+2) no intervalo (-2, 0]
    então os limites neste caso são dados pelos valores de f1 ou de f2 no intervalo que lhe corresponder. Em Matemática:

    limites laterais

    Em todos os outros nós os limites laterais vão coincidir porque esta função foi contruida para ser contínua.

    Vamos ver um exemplo de situação prática em que usamos este tipo de equações.

    tunel e viaduto

    Analise o estrago na natureza feito pelo homem nesta bela montanha com o objetivo discutível de criar um passo entre duas cidades que se encontram nos lados opostos da montanha. Mas suponha além disto que seja necessário construir uma estrada por cima do passo, (um viaduto). Com a finalidade de "preservar" o que sobrou da montanha e dar-lhe um aspecto arquitetônico adequado, desejamos que estrada acompanhe a inclinação nas duas laterais.

    Para isto calculamos a inclinação de um lado e do outro para colocar alí uma curva que se insira no espaço entre as laterais do corte, harmoniosamente (e não somente isto, oferecendo o mínimo de resistência à velocidade dos veículos que irão por alí transitar, caso contrário o movimento dos veículos irá diminuir a vida útil do viaduto - ele irá cair ou ficar intransitável em pouco tempo) coisa bem conhecida nas nossas estradas!

    Neste caso, aparentemente, o viaduto irá ter a equação de uma reta (um segmento de reta), a impressão visual é a de que o coeficiente angular na parte superior do rasgo feito na montanha é o mesmo que na parte inferior. A estrada teria uma forma quase parabólica na parte superior da montanha e seria quase uma reta na parte inferior ao rasgo.

    O gráfico da função na figura 1 da lista lembra a solução que precisamos no caso desta construção arquitetônica com o objetivo de salvar a beleza da natureza frente as intransponíveis necessidades tecnológicas do homem (que beleza de discurso). Aqui podemos ver a aplicação da primeira questão na construção do passo pela montanha com o viaduto unindo a parte superior.

    montanha restauradao modelo matemáticoO gráfico na primeira questão comparado à solução arquitetônica.

A segunda questão

Na segunda questão f(x) é uma função do tipo chamada fração racional,

fração racional

quando a equação é um quociente de duas expressões polinomiais. Quando o denominador se anula no ponto x = a temos um estudo interessante a ser feito nas vizinhanças do ponto a que recebe o nome de polo de f.

O denominador desta fração se anula nos pontos -2, 5. Um estudo do sinal desta função nos mostra que à direita e à esquerda de -2 (também nas vizinhanças de 5) f troca de sinal. A lista de valores abaixo foi construida pelo

programa exer06_02.calc usando a sucessão sn = -2 + (-1)n/n .

Esta sucessão oscila em volta de -2 e podemos ver que os valores de f vão gradualmente crescendo em valor absoluto mas com o sinal se alternando. Se sn for menor do que -2, f( sn ) é negativo. Se sn for maior do que -2, f( sn ) é positivo. Na listagem abaixo, na primeira coluna se encontram os índices da sucessão de 60 até 79. Isto significa que, por exemplo,

s60 = -1.98333333333333333333

s61 = -2.01639344262295081967

60 f( -1.98333333333333333333 ) = -17.32696897374701670644

61 f( -2.01639344262295081967 ) = 17.24532710280373831776

62 f( -1.98387096774193548387 ) = -17.89838337182448036952

63 f( -2.01587301587301587302 ) = 17.81674208144796380090

64 f( -1.984375 ) = -18.46979865771812080537

65 f( -2.01538461538461538462 ) = 18.38815789473684210526

66 f( -1.98484848484848484848 ) = -19.04121475054229934924

67 f( -2.01492537313432835821 ) = 18.95957446808510638298

68 f( -1.98529411764705882353 ) = -19.61263157894736842105

69 f( -2.01449275362318840580 ) = 19.53099173553719008264

70 f( -1.98571428571428571429 ) = -20.18404907975460122699

71 f( -2.01408450704225352113 ) = 20.10240963855421686747

72 f( -1.98611111111111111111 ) = -20.75546719681908548708

73 f( -2.01369863013698630137 ) = 20.673828125

74 f( -1.98648648648648648649 ) = -21.32688588007736943907

75 f( -2.01333333333333333333 ) = 21.24524714828897338403

76 f( -1.98684210526315789474 ) = -21.89830508474576271186

77 f( -2.01298701298701298701 ) = 21.81666666666666666667

78 f( -1.98717948717948717949 ) = -22.46972477064220183486

79 f( -2.01265822784810126582 ) = 22.38808664259927797834

Na próxima listagem eu rodei o programa exer06_02.calc modificando a sucessão sn tendo como limite 5 (oscilando me volta de 5),

60 f( 5.01666666666666666667 ) = 77.10213776722090261283

61 f( 4.98360655737704918033 ) = -78.46948356807511737089

62 f( 5.01612903225806451613 ) = 79.67356321839080459770

63 f( 4.98412698412698412698 ) = -81.04090909090909090909

64 f( 5.015625 ) = 82.24498886414253897550

65 f( 4.98461538461538461538 ) = -83.61233480176211453744

66 f( 5.01515151515151515152 ) = 84.81641468682505399568

67 f( 4.98507462686567164179 ) = -86.18376068376068376068

68 f( 5.01470588235294117647 ) = 87.38784067085953878407

69 f( 4.98550724637681159420 ) = -88.75518672199170124481

70 f( 5.01428571428571428571 ) = 89.95926680244399185336

71 f( 4.98591549295774647887 ) = -91.32661290322580645161

72 f( 5.01388888888888888889 ) = 92.53069306930693069307

73 f( 4.98630136986301369863 ) = -93.89803921568627450980

74 f( 5.01351351351351351351 ) = 95.10211946050096339114

75 f( 4.98666666666666666667 ) = -96.46946564885496183206

76 f( 5.01315789473684210526 ) = 97.67354596622889305816

77 f( 4.98701298701298701299 ) = -99.04089219330855018587

78 f( 5.01282051282051282051 ) = 100.24497257769652650823

79 f( 4.98734177215189873418 ) = -101.61231884057971014493

O estudo do sinal desta função confirma estes resultados:

variação do sinal

Aplicação: uma função deste tipo caracteriza situações em que o nível de energia é muito grande e situações deste tipo ocorrem a nível subatômico, apenas não posso garantir que descritas por uma equação algébrica como a esta. Onde há sinal de interrogação cabe um estudo de limite. Uma das características do limite consiste em comparar ordens de grandeza e aqui você vai encontrar a razão porque existem muitas formas para o zero uma infinidade de sucessões que representam o zero. É que há muitos "tipos" de zero. Dizemos que há vários tipos de sucessões que convergem para zero, elas se classificam pela "velocidade como convergem para zero".Relembre alguns exemplos que já discuti:

tipos de zeros

Esta comparação entre sucessões tem o que ver com a complexidade dos algoritmos.

O item (c) faz uma comparação entre polinômios de graus diferentes, neste caso o númerador, um polinômio do primeiro grau e o denominador um polinômio do segundo grau. Interessa aqui comparar o comportamento destes polinômios no infinito. O infinito não é um lugar ou um número, e também você vai aos poucos aprender que o infinito é classificável em vários tipos. Tem que ser assim uma vez que se uma sucessão convergir para zero, então o seu inverso diverge (o que as vezes dizemos, converge para infinito). Ora, como tem vários tipos de zeros, então tem que uma variedade semelhante de infinitos....

Não se assuste com estes conceitos e nem tente ver aqui nada de místico, tudo isto é muito concreto e bem estabelecido, embora ainda haja problemas não resolvidos, alguns deles ligados à complexidade dos algoritmos. Felizmente ainda temos muito para aprender! a vida nunca será monótona!

Um cálculo simples resolve esta questão de comparação de polinômios no infinito:

comparando polinômios no infinito

Para o gráfico de y = f(x) isto significa que ele tem por assíntota o eixo OX. Aqui estamos inaugurando um novo conceito - reta assíntota. Quando descobrirmos o "comportamento assintótico" de uma função, podemos substituí-la por outra mais simples na região em que as duas forem assíntotas. Neste caso quer dizer que no infinito a função y = f(x) pode ser substituida por zero (porque ela é assíntota ao eixo OX que é a reta y = 0). Se substituirmos no programa exer06_02.calc a sucessão

sn n

que é uma sucessão que "converge para infinito" - observe a forma errada de falar porque esta sucessão na verdade não converge - ela não define um número, mas é assim que costumamos dizer! Os cálculos são:

quociente polinômios no infinito

Se dois polinômios forem do mesmo grau o resultado desta comparação é uma constante que depende apenas dos coeficientes dos termos de maior grau:

polinômios equivalentes no infinito

Neste caso o quociente destes polinômios será assintótico à reta y = (a/b) e dizemos que estes polinômios são equivalentes no inifinito. Observe que desprezei os termos de grau inferior a n nas constas. Se convença de que não estou errado.

As duas assíntotas verticais que o gráfico de y = f(x) tem, as paralelas ao eixo OY correspondem aos polos x=-2 e x = 5. Elas signficam que f(x) é semelhante à hipérbole A/(x+2) nas vizinhanças de x=-2 e é semelhante à hipérbole B/(x-5) nas vizinhanças de x = 5. Você pode testar isto com o programa exer06_02b.calc fazendo com que o programa escreva os valores destas funções nas proximidades dos polos. Evite que o programa passe pelo polo senão você vai receber a mensagem "division by zero"! Entretanto fique certo de que a máquina não irá explodir caso você cometa algum erro, mesmo no caso de algum "sistema" de menor qualidade não há riscos maiores do que a máquina travar, e é para isto que existe o CTRL-Alt-Del nestes "sistemas"....

O valor das constantes A,B

Para entender o que são as constantes A,B referidas acima, eu vou fatorar as expressões e mostrar como se calculam estas constantes:

residuo

Resíduo

O valor da constante A foi calculada na equação (2) ela é o valor da função A(x) que guarda a semelhança entre y = f(x) e a hipérbole A/(x+2) nas vizinhanças de x = -2. Esta semelhança somente vale numa semelhança. Estou falando de coisas que são semelhantes à reta tangente ao gráfico de uma função derivável, a reta tangente é semelhante ao gráfico da função somente nas próximidades do ponto de tangência. Entenda isto: quando você estiver rodando uma pedra num cordão e o cordão se quebrar ou for solto, numa vizinhança daquele ponto o movimento da pedra é semelhante ao da tangente ao gráfico naquele ponto. Ao se afastar do ponto esta semelhança desaparece ( a pedra passa visivelmente a se reger pela segunda lei de Newton - efeito da gravidade - ela segue por uma parábola). A verdade é que ela saiu por uma parábola tangente e não por uma reta tangente, mas naquele ponto os comportamento assintóticos são semelhantes.

A constante, A ou B, se chama de resíduo. A é resíduo de f no ponto x=-2, B é o resíduo de f no ponto x = 5, como não podemos falar de limite um novo nome foi inventado.

Experimente. O resultado do programa é importante para que você verifique (experimentalmente) que acontece, quem prova o que vai acontecer são as contas que fiz acima. É um pouco semelhante com a história do Eclipse de Sobral em 1919. O éclipse não provou nada, mas serviu para convencer muita gente (tem gente hoje que ainda não acredita...) de que a luz faz uma curva... é o papel da listagem abaixo e do programa.

comparando g2 e f numa vizinhança de x = -2 com o programa exer06_02b.calc

g2(x) = A/(x+2); A = (x+4)/(x-5)|x=-2

comparando g2 e f numa vizinhança de x = -2

imprime(n1,n2) defined

60 f( -1.98333333333333333333 ) = -17.32696897374701670644

60 g2( -1.98333333333333333333 ) = -17.14285714285714285714

61 f( -2.01639344262295081967 ) = 17.24532710280373831776

61 g2( -2.01639344262295081967 ) = 17.42857142857142857143

62 f( -1.98387096774193548387 ) = -17.89838337182448036952

62 g2( -1.98387096774193548387 ) = -17.71428571428571428571

63 f( -2.01587301587301587302 ) = 17.81674208144796380090

63 g2( -2.01587301587301587302 ) = 18

64 f( -1.984375 ) = -18.46979865771812080537

64 g2( -1.984375 ) = -18.28571428571428571429

65 f( -2.01538461538461538462 ) = 18.38815789473684210526

65 g2( -2.01538461538461538462 ) = 18.57142857142857142857

66 f( -1.98484848484848484848 ) = -19.04121475054229934924

66 g2( -1.98484848484848484848 ) = -18.85714285714285714286

67 f( -2.01492537313432835821 ) = 18.95957446808510638298

67 g2( -2.01492537313432835821 ) = 19.14285714285714285714

68 f( -1.98529411764705882353 ) = -19.61263157894736842105

68 g2( -1.98529411764705882353 ) = -19.42857142857142857143

69 f( -2.01449275362318840580 ) = 19.53099173553719008264

69 g2( -2.01449275362318840580 ) = 19.71428571428571428571

70 f( -1.98571428571428571429 ) = -20.18404907975460122699

70 g2( -1.98571428571428571429 ) = -20

71 f( -2.01408450704225352113 ) = 20.10240963855421686747

71 g2( -2.01408450704225352113 ) = 20.28571428571428571429

72 f( -1.98611111111111111111 ) = -20.75546719681908548708

72 g2( -1.98611111111111111111 ) = -20.57142857142857142857

73 f( -2.01369863013698630137 ) = 20.673828125

73 g2( -2.01369863013698630137 ) = 20.85714285714285714286

74 f( -1.98648648648648648649 ) = -21.32688588007736943907

74 g2( -1.98648648648648648649 ) = -21.14285714285714285714

75 f( -2.01333333333333333333 ) = 21.24524714828897338403

75 g2( -2.01333333333333333333 ) = 21.42857142857142857143

76 f( -1.98684210526315789474 ) = -21.89830508474576271186

76 g2( -1.98684210526315789474 ) = -21.71428571428571428571

77 f( -2.01298701298701298701 ) = 21.81666666666666666667

77 g2( -2.01298701298701298701 ) = 22

78 f( -1.98717948717948717949 ) = -22.46972477064220183486

78 g2( -1.98717948717948717949 ) = -22.28571428571428571429

79 f( -2.01265822784810126582 ) = 22.38808664259927797834

79 g2( -2.01265822784810126582 ) = 22.57142857142857142857

comparando g5 e f numa vizinhança de x = 5

imprime(n1,n2) defined

60 f( 5.01666666666666666667 ) = 77.10213776722090261283

60 g5( 5.01666666666666666667 ) = 77.14285714285714285714

61 f( 4.98360655737704918033 ) = -78.46948356807511737089

61 g5( 4.98360655737704918033 ) = -78.42857142857142857143

62 f( 5.01612903225806451613 ) = 79.67356321839080459770

62 g5( 5.01612903225806451613 ) = 79.71428571428571428571

63 f( 4.98412698412698412698 ) = -81.04090909090909090909

63 g5( 4.98412698412698412698 ) = -81

64 f( 5.015625 ) = 82.24498886414253897550

64 g5( 5.015625 ) = 82.28571428571428571429

65 f( 4.98461538461538461538 ) = -83.61233480176211453744

65 g5( 4.98461538461538461538 ) = -83.57142857142857142857

66 f( 5.01515151515151515152 ) = 84.81641468682505399568

66 g5( 5.01515151515151515152 ) = 84.85714285714285714286

67 f( 4.98507462686567164179 ) = -86.18376068376068376068

67 g5( 4.98507462686567164179 ) = -86.14285714285714285714

68 f( 5.01470588235294117647 ) = 87.38784067085953878407

68 g5( 5.01470588235294117647 ) = 87.42857142857142857143

69 f( 4.98550724637681159420 ) = -88.75518672199170124481

69 g5( 4.98550724637681159420 ) = -88.71428571428571428571

70 f( 5.01428571428571428571 ) = 89.95926680244399185336

70 g5( 5.01428571428571428571 ) = 90

71 f( 4.98591549295774647887 ) = -91.32661290322580645161

71 g5( 4.98591549295774647887 ) = -91.28571428571428571429

72 f( 5.01388888888888888889 ) = 92.53069306930693069307

72 g5( 5.01388888888888888889 ) = 92.57142857142857142857

73 f( 4.98630136986301369863 ) = -93.89803921568627450980

73 g5( 4.98630136986301369863 ) = -93.85714285714285714286

74 f( 5.01351351351351351351 ) = 95.10211946050096339114

74 g5( 5.01351351351351351351 ) = 95.14285714285714285714

75 f( 4.98666666666666666667 ) = -96.46946564885496183206

75 g5( 4.98666666666666666667 ) = -96.42857142857142857143

76 f( 5.01315789473684210526 ) = 97.67354596622889305816

76 g5( 5.01315789473684210526 ) = 97.71428571428571428571

77 f( 4.98701298701298701299 ) = -99.04089219330855018587

77 g5( 4.98701298701298701299 ) = -99

78 f( 5.01282051282051282051 ) = 100.24497257769652650823

78 g5( 5.01282051282051282051 ) = 100.28571428571428571429

79 f( 4.98734177215189873418 ) = -101.61231884057971014493

79 g5( 4.98734177215189873418 ) = -101.57142857142857142857

A questão 3

Esta questão lhe dá mais uma experiência com comportamento assintótico, agora com um polinômio de grau maior no numerador. Se quando o polinômio de maior grau estiver no denominador o quociente será assintóticamente equivalente a zero, agora o quociente vai ser assintoticamente equivalente a infinito, no infinito. O resultado geral é

polinômios no infinito