Interpretação geométrica da derivada

Estou re-escrevendo este texto, quando ele estiver pronto, esta observação vai desaparecer. Use o botão de renovação da página para ver a versão mais recente. Devo estar com este texto terminado na quinta-feira, para usá-lo como slide em aula.
A segunda lista de exercícios é um laboratório usando gnuplot para conduzí-l@ a entender o que é limite de uma sucessão de secantes se aproximando da tangente.
Tudo que eu faço está voltado para funcionar perfeitamente num computador rodando Linux e nisto eu sigo rigorosamente as intruções do Governo do Estado do Ceará (porque concordo com estas instruções) de usar apenas software de domínio público, de formas que ninguém precisa pagar para usar programas e nem preciso fazê-lo forma indecorosa - pirata.
Então tudo nas listas funciona perfeitamente se você estiver usando um computador rodando Linux.
É possível que funcione em computador rodando outra coisa, mas não posso garantí-lo.
Eu uso computador de forma profissional e portanto não me interessam sistemas cujo objetivo sejam o divertimento. Obviamente eu também me divirto com o meu computador e isto é amplamente possível com Linux.

A primeira questão: já foi discutida em aula mas este texto se encontra publicado também para quem não pode vir a aula ou que a perdeu.
Objetivo: Equação da reta que passa por dois pontos

     P =(a,f(a)) e Q = (b, f(b))

cortando o gráfico da função y = f(x) em dois pontos.
Há várias formas de apresentar a equação de uma reta, se você precisar de discutir esta questão mais a fundo, não duvide em fazê-lo apesar de que eu vá passar um pouco rápido sobre o assunto.
Quero usar a equação da reta com o formato:

      y = m(x - a)

Dizemos que esta é a equação da reta que passa no ponto (a,b) e tem coeficiente angularm.
Observe que precisamos sempre de duas informações para encontrar a equação de uma reta. Podem ser dois pontos, pode ser um ponto e uma direção (o coeficiente angular).
Nos item (a),(b),(c) você deve identificar que o coeficiente angular foi calculado corretamente.
No item (d) estou usando uma "diferença", (a letra grega rho) está sendo usada para indicar um "afastamento" do ponto x = a.
Agora você tem dois pontos,     P =(a,f(a)) e Q = (a+rho, f(a+rho))

A questão pede-lhe para identificar se o coeficiente angular está calculado corretamente. No item (e) lhe foram apresentados alguns comandos do gnuplot e você deve verificar se com eles é possível ver o gráfico de uma reta cortando o gráfico da função

y = f(x) = (x+3)*(x-4);

Copie este comandos para o terminal do gnuplot e analise o resultado.
A segunda questão: começa lhe mostrando um "problema" que você pode encontrar no gnuplot. Preste atenção ao cálculo do coeficiente angular e tome a decisão sobre a correção (ou não) do item (a).

Experimente os comandos no gnuplot:

gnuplot trabalha com divisão inteira, quer dizer que o operador divisão usa o algoritmo da divisão euclidiana sendo a/b o quociente inteiro na divisão de a por b . Assim: Se você quiser que o resultado seja do tipo float (real em Pascal) basta que você transforme um dos fatores na divisão para o tipo float:

(1.0*3)/4 ---> 0.75

gnuplot> print (1.0*3)/4
0.75


O arquivo exer02 02.gnuplot contém o texto a que o item (c) faz referência. Baixe o arquivo e leia.
O conteúdo deste arquivo em um script-gnuplot (uma outra forma de falar "programa-gnuplot" - ocorre que gnuplot não é oficialmente uma linguagem de programação...
Você pode rodar um script-gnuplot de duas formas (pelo menos): Os arquivos exer02 02.gnuplot, xer02 02b.gnuplot são dois filmes para serem rodados (exibidos) com gnuplot
Se você abrir um terminal do gnuplot - executando gnuplot - chamando gnuplot - dentro do terminal do gnuplot você pode digitar e executar:
load "teste.gnuplot"
que irá executar este script do gnuplot dentro desta janela.

Faça a segunda questão

Faça a segunda questão e volte para ler os comentários aqui na página.

Os comentários sobre a segunda questão

Aqui você pode verteste.gnuplot
É um pequeno programa escrito para gnuplot.
  1. A primeira linha define uma função
  2. na segunda linha cria a variável "a" com valor -5, a = -5;
  3. Agora vem um bloco vai ser repetido cada vez que você acionar "enter"
    1. Dá um valor para "delta"
    2. Calcula uma diferença no valor da função Delta-f = f(a+Delta) - f(a)
    3. Calcula um quociente de diferenças que é o coeficiente angular da reta secante que passa no gráfico de f nos pontos
      (a,f(a)) (a+Delta, f(a+Delta))
    4. A figura mostra o significado do quociente de diferenças. É o quociente entre os lados de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a reta secante que passa nos pontos
      (a,f(a)) (a+Delta, f(a+Delta))
    5. Depois podemos dar valores diferentes para Delta obtendo várias retas secantes. Mas o interessante é considerar uma sucessão de valores cada vez menores.

Deltax - representando o zero

Eu tenho dois objetivos com esta lista. Na verdade três.
  1. O significado geométrico da derivada, o coeficiente angular da tangente.
  2. O conceito de limite - que explica o que aproximação
  3. O conceito de número real que inciamos na lista anterior.

Limite

Este é um dos conceitos mais difíceis da Matemática. Um conhecido matemático, Courant, disse em dos seus livros que limite era o limiar da Matemática Superior. A porta de entrada da Matemática Superior.
Então estamos estudando um assunto difícil.
Mas difícil não significa impossível, significa apenas difícil.
Quer dizer que tem mais trabalho pela frente para entendermos direitinho o significado deste mecanismo chamado limite.
A tática que vou usar será: vamos entender limite usando.

Precisamos limite para calcular derivadas

Você viu isto no caso da pedra que está circulando num círculo, presa a um cordão equando o cordão se rompe a pedra muda de comportamento saindo pela tangente (pela parábola tangente).
Mas tanto a parábola tangente, como o círculo são tangente a uma reta que pode ser vista neste gráfico no ponto em que o cordão se rompe.
Por um momento esqueçamos a parábola e fiquemos com a reta.
A reta tem um coeficiente angular. É isto que caracteriza uma reta.
Uma reta é uma curva que tem coeficiente angular constante.
Enquanto a pedra estava percorrendo o círculo o seu coeficiente angular estava mudando.
Ao se romper o cordão ela partiu em movimento com coeficiente angular fixo pela lei da Física:
Não havendo nenhuma força atuando sobre o corpo, ele permanece em movimento retilíneo uniforme (não acelerado) quer dizer se movimenta ao longo de uma reta sem alterar sua velocidade.
Quer dizer que a reta tangente nos diz qual era o coeficiente angular do percurso da pedra quando o cordão se rompeu.
Chamos isto de coeficiente angular naquele instante. As curvas (não retas) tem um coeficiente angular em cada ponto, e as retas tangentes nos indicam qual é este coeficiente angular instantâneo.

Cálculo do coeficiente angular instantâneo.

Para fazermos esta cálculo usando de métodos de aproximação. Você vai me ouvir muito falar em aproximação que está intimamente ligada a limite. Também vamos entender isto pelo uso.
O gráfico desta função e da reta secante nos mostra o caminho.
É o método do primeiro exercício da lista 02.
Aqui tem uma terminologia que é preciso que você se habitue com ela, é o jargão do Cálculo, da Física, da Química. Você vai ouvir falar de "delta x" o tempo todo, os físicos falam muito de "delta t" um pequeno intervalo de tempo.
Na figura você pode ver um triângulo (tem dois se fixe num deles). Um triângulo retângulo com lados paralelos aos eixos. O cateto horizontal (paralelo ao eixo OX) é o "delta x" quer dizer uma diferença entre dois valores do eixo OX.
O cateto vertical é "delta y" ou "delta f"
O quociente entre estes dois catetos, (Delta f)/(Delta x) é o coeficiente angular da reta secante que passa na hipotenusa do triângulo. Confira!
Este quociente é chamado de "quociente de diferenças" é o coeficiente angular da reta secante. Se "Delta x" for pequeno este valor é uma boa aproximação para o coeficiente angular instantâneo.
Fique bem claro isto,é uma aproximação. Não é o coeficiente angular instantâneo.
No caso da função do segundo grau nos podemos descobrir o valor exato do coeficiente angular, vamo ver como.

O salto lógico

Primeiro fizemos algumas contas calculando "delta f":
delta f = f(a + delta x) - f(a)
No caso da função do segundo grau é fácil. Quando dividimos por "delta x" desaparece o quociente porque o termo com "delta x" é um fator comum que fica cancelado.
Fica um único termo em que aparece "delta x" e é aqui vamos dar um salto lógico. Até este momento estavamos fazendo contas algébricas, agora vamos fazer uma interpretação do resultado e concluir alguma coisa (deduzir) dele um resultado.
Este passo é lógico e não é algébrico.

Neste ponto os antigos inventaram o infinitésimo

Nós precisamos do "infinitésimo" embora alguns livros ainda falem disto. No começo o Cálculo Diferencial e Integral se chama "Cálculo Infinitesimal". Este "conceito" conduziu a uma série de problemas que hoje sabemos evitar. A família de "delta x" que o exercício 1 (da lista 02) apresenta, é o que os antigos chamavam de "infinitésimos".
Hoje dizemos que representam o zero.
Vamos passar algum tempo discutindo esta questão até que obtenhamos um entendimento claro para ela.
É o que eu disse que é difícil, o difícil merece algum tempo para que seja amadurecido.

Uma família de infinitésimo - representa o zero

O que representa o zero é uma sucessão qualquer que possamos afirmar dela que seus termos são arbitrariamente pequenos em módulo. Como a sucessão
1 , \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4}, ..., \frac{1}{n}, ...
usando a notação de LaTeX para fração. Mas há uma infinidade de infinitésimos: 1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5}, ..., \frac{±1}{n}, ...
é um outro exemplo. Enfim, se pudermos garantir que os termos da sucessão serão absolutamente pequenos, em módulo, temos um infinitésimo. Hoje dizemos um representante do zero. Porque se é um representante do zero então é o elemento neutro na soma, logo ao ser somado resulta no outro termo. Assim
2Ax + A(Delta x) + B = 2Ax + B = f'(a)
é um dos resultados da lista 02.
Podemos facilmente calcular as derivadas de todas as funções polinomiais, é isto que vou fazer na aula de quinta-feira. Você deve entender o cálculo das derivadas de qualquer função do segundo grau, como está na lista.